А.В. Копаев, С.К. Соболев
12
Например, при
4
p
получаем такие приближенные значения
модуля и аргумента комплексных корней:
1
1
2
1, 984375..., arg( )
1, 539546...
64
2 32
z r
z
То есть
1,539546
2,3
1, 984375
.
i
i
z re
e
Теперь получим асимптотические разложения корней кубическо-
го уравнения (5) при
0
p
. Если
0
p
, то корни очевидно равны
3
1
, эти значения
1
2,3
1 3
1,
.
2 2
z
z
i
При
0
p
для веществен-
ного корня
1
z x
имеем
3
1 .
x p
x
Обозначим
1 0
t x
, тогда
1
x t
и
3
3
2
( 1) 1
3 3 ~ 3
1
1
t
t
t
t
p
t
t
t
, поэтому
1 ~
3
p
x t
.
Далее рассмотрим разность
3
2
3 3
3
3
3 3
p
p t
t
t
t
t
t
t
3
3
3
~ ~ .
3 3 3 81
t
t
p
t
Следовательно,
3
1
( )
z x p o p
при
0.
p
Теперь найдем асимптотику при
0
p
для действительной части
комплексного корня
2,3
( ) Re( ).
x p
z
Здесь
3
8 1
2
x p
x
. Обозначим
2 1 0.
t
x
Тогда
2
1
x t
и
3
2
( 1) 1
3 3 ~ 3
1
1
t
t t
t
p
t
t
t
~ .
3
p t
Далее,
3
2
3
3
3
3 3
~ ~ ,
3
3 3
3 3 3 81
p t
t
t
t
t
p
t
t
t
t
поэтому
3
3
1
1
Re( )
1
2
2 6 54
p p
x
z
t
o p
при
0.
p
Аналогично для мнимой части корней получаем представление
3
3
1
Im( )
3
( )
2 6 54
p p
y
z
o p
при
0.
p
Таким образом, при малых по модулю значениях
р
справедливы
приближенные формулы для корней (вещественного
1
z
и комплекс-
ных
2,3
z
):
3
1
1
3 81
p p
z
,
3
3
2,3
1
13
2 6 54
2 6 54
p p
p p
z
i
. (13)
