Графическое и аналитическое исследование комплексных корней
5
Сразу отметим, что по формулам Виета сумма всех корней для
кубического уравнения (5), действительных или комплексных, с уче-
том кратности равна нулю, а произведение этих корней равно
1
.
1. Исследование корней кубического уравнения с одним ве-
щественным параметром.
Сначала подробно рассмотрим случай
вещественного
параметра
р
.
Исследуем
действительные
корни
z x
уравнения (5), которое
перепишем в виде
3
1 0
x px
3
2
1
1 ,
x p
x
x
x
(6)
т. е. рассматривая
р
как функцию от
х
. Первая и вторая производные
этой функции равны соответственно
3
2
2
1 2 1
2
dp
x
x
dx
x
x
и
2
2
2
3
3
2 2( 1)(
1)
2
.
d p
x x x
dx
x
x
Легко видеть, что функция
( )
p x
(6) имеет локальный ми-
нимум при
3
0 3
1 4 0, 7937...,
2 2
x x
равный
3
0
0
3 ( )
2 2
p p x
1,88988...
Эта функция убывает на промежутках
( ; 0)
и на
0
(0; ],
x
возрастает на
0
[ ;
)
x
ее график имеет перегиб в точке
1,
0.
x
p
Далее, график функции (6) имеет прямолинейную
асимптоту
0
x
и, кроме того, параболическую асимптоту
2
p x
(рис. 3). Справедливы асимптотические формулы:
1~
p
x
при
0
x
и
2
~
p x
при
.
x
Количество различных вещественных корней уравнения (3) при
каждом конкретном вещественном значении
p
равно числу точек
пересечения графика (6) с прямой
.
p
Из графика функции (6)
видно, что при вещественном
3
0
3 2 2
p p
уравнение (5) имеет три
различных вещественных корня (
1
2
3
x x x
), из которых корень
1
x
отрицательный, а два других,
2
x
и
3
,
x
положительны, причем, если
,
p
то
1
,
x
2
0
x
и
3
.
x
Более того, при
p
справедливы такие асимптотические представления:
1
~ ,
x
p
2
1~ ,
x
p
3
~
x
p
.
