1
УДК 517.5
Графическое и аналитическое исследование
комплексных корней кубического уравнения
с одним параметром
© А.В. Копаев, С.К. Соболев
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
В работе рассматриваются вещественные и комплексные корни кубического
уравнения с одним параметром р. Получены графические зависимости этих корней
от вещественного параметра р, а также их асимптотика при
p
и при
p
0
без использования явных формул для корней кубического уравнения, в кото-
рых эти корни выражены через параметр, а наоборот, рассматривая параметр
как функцию от этих корней. Также получена графическая зависимость этих кор-
ней от комплексного параметра на комплексной плоскости, которая представля-
ет собой номограмму для приближенного нахождения всех трех комплексных кор-
ней при любом значении комплексного параметра. Материал может быть полезен
преподавателям и использован ими для дополнительных занятий со студентами.
Ключевые слова:
комплекснозначная функция, график, асимптотика, приближен-
ная формула, кубическое уравнение, корень.
Введение.
Студенты МГТУ им. Н.Э. Баумана знакомятся с ком-
плексными числами дважды: сначала на последней лекции по анали-
тической геометрии, а потом на втором курсе по дисциплине (или
модуле) «Теория функций комплексного переменного» (ТФКП).
В обоих случаях кубическое уравнение и его комплексные корни по-
дробно практически не рассматриваются, студентов разве что учат
извлекать корень любой степени из произвольного комплексного
числа. Между тем кубическое уравнение дает огромное поле для
приложения как аналитических методов исследования его корней с
применением обычного математического или комплексного анализа,
так и графических методов их анализа. При этом очень много ин-
формации об этих корнях можно получить, даже не имея в своем
распоряжении явную формулу для них.
Общеизвестно, что графические иллюстрации способствуют
наилучшему восприятию смысла и содержания информации. Именно
поэтому в преподавании математического анализа важная роль отво-
дится построению графиков функций. В настоящей работе показано,
насколько информативны графические изображения комплексно-
значных функций действительного или комплексного аргумента,
а именно функций, выражающих (явно или неявно) зависимость кор-
ней кубического уравнения от его коэффициентов.
