Графическое и аналитическое исследование комплексных корней
13
Эти формулы дают очень хорошее приближение при
0, 5.
p
Но
даже если, например,
1,
p
получим такие приближенные значения:
1
1 1
1
1, 321,
3 81
z
2,3
0, 6605 0,5667 .
z
i
Точные значения:
1
1, 32472,
z
2, 3
0, 66236 0.5622795 ,
z
i
т. е. ошибка составляет менее одной сотой.
Заметим, что мы получили эти асимптотические представления и
графики,
не используя
явных формул для корней уравнения (5). Вы-
пишем известные формулы Кардано для этого уравнения в виде,
удобном для использования и исследования
(
).
p
Пусть сначала
0 3
3
4
p p
. Тогда уравнение имеет три веще-
ственных корня:
1
2
2
2
2 sin
0,
2 sin 0,
2 sin
0,
3
3
3 3
3
3
p
p
p
x
x
x
где
3 3
arcsin
.
2
p p
Заметим, что эти формулы верны и при
0 3
3 ,
4
p p
в этом
случае
arcsin1
2
,
3
2
4
3
p
,
3
3
3
1
2
3
3
1
4 sin
4,
4 sin
.
2
6 2
x
x x
Пусть теперь
0 3
3
4
p p
.
Тогда уравнение (5) имеет один вещественный корень
3
3
3
3
1
1 1
1 1
2 4 27 2 4 27
p
p
z
(14)
и два комплексно-сопряженных:
3
3
3
3
2,3
1 1 1
1 1
2 2 4 27
2 4 27
p
p
z
