А.В. Копаев, С.К. Соболев
14
3
3
3
3
3 1 1
1 1
.
2 2 4 27 2 4 27
p
p
i
(15)
Понятно, что исходя из этих явных формул, также можно полу-
чить асимптотические формулы (11)–(13).
Пример.
Решим уравнение (5) при а)
3
p
и б)
3:
p
а)
0
3
p
p
,
1 arcsin
2 6
, и имеем такие корни:
1
2
3
11
7
5
2sin
2sin ,
2sin ,
2sin ;
18
18
18
18
x
x
x
б)
3
p
, получим следующие корни уравнения
3
3 1 0:
z z
вещественный
3
3
1
1 5 1 5 ,
2
2
z
и два комплексно-сопря-
женных:
3
3
3
3
2,3
1 1 5 1 5
3 1 5 1 5
2 2
2
2
2
2
z
i
.
2. Графическое представление корней кубического уравнения
с одним комплексным параметром.
Кратко рассмотрим уравнение
3
2
1
1 0
z pz
p z
z
,
(16)
в котором параметр
р
, вообще говоря,
комплексный
. Тогда уравне-
ние имеет только комплексные корни, если
.
p
Это уравнение не-
явно задает трехзначную комплексную функцию
( )
z z p
комплекс-
ного аргумента
р
(зависимость корней от параметра
р
). Тогда образы
координатных линий плоскости
p
обратного отображения
( )
z z p
будут линиями уровня функций
Re ( )
p z
и
Im ( ) .
p z
Представим параметр
p
в виде
.
p a bi
Если
,
z x iy
полу-
чим
2
2
2
(
)
,
x iy
p a bi
x iy
x y
откуда
2
2
2
2
2
2
Re( )
,
Im( ) 2
.
x
a
p x y
x y
y
b
p xy
x y
(17)
