Постановка специального курса «Марковские модели систем с взаимодействием»
7
1 2
3
T T T
;
3
2
4
T T T
;
1
0
T
; система массового обслужива-
ния [33, 34].
В первой части типового расчета студентом по схеме взаимодей-
ствий марковского процесса выписываются первое и второе уравне-
ния для производящих функций переходных вероятностей [2, 11]. Из
второго уравнения «термодинамическим предельным переходом»
(при большом числе частиц) выводится система дифференциальных
уравнений (2) для детерминированной модели кинетической схемы
[9, 19, 25]. Находятся точки стационарности системы дифференци-
альных уравнений и проводится их анализ на устойчивость.
Во второй части типового расчета дается наглядное графическое
описание скачков процесса рождения и гибели на дискретном фазовом
пространстве и выписываются вероятностные распределения времени
нахождения процесса в точке. На этой основе составляется и отлажива-
ется на ЭВМ численная модель случайного процесса
1
( ( ), , ( ))
n
t
t
в
одном из пакетов MATLAB, Maple, Mathematica. Графики траекторий в
зависимости от времени
t
для детерминированной модели вида (2) да-
ются стандартной подпрограммой метода Рунге — Кутты, для марков-
ского процесса реализации строятся методом Монте-Карло. Выводятся
графики детерминированных и стохастических траекторий на фазовых
плоскостях.
Определяются наличие иммиграции, поглощающих состояний —
финального распределения, (квази)стационарного распределения,
возможность ухода случайного процесса на бесконечность. Путем
численных экспериментов определяется порядок начального состоя-
ния, при котором стохастические реализации близки к детерминиро-
ванным траекториям (если такая близость имеется). Анализируется и
сравнивается поведение детерминированной модели и стохастиче-
ской модели при
.
t
В третьей части типового расчета строится одномерная или дву-
мерная гистограмма финального распределения или (квази) стацио-
нарного распределения путем многократного повторения численного
моделирования случайного процесса (при большом промежутке вре-
мени моделирования
[0, ]).
t
T
Статистическими экспериментами
исследуется изменение гистограммы в зависимости от одного из па-
раметров (один из параметров интенсивности или начальное число
частиц — по указанию преподавателя). Возможны значения парамет-
ров, когда гистограмма близка к плотности нормального закона, или
плотности показательного распределения, или другому известному
вероятностному распределению. Для некоторых схем взаимодей-
ствий преподавателем формулируются специальные вопросы о пове-
дении марковской модели сложной системы.
