Постановка специального курса «Марковские модели систем с взаимодействием»
5
Приложения в экологии. Детерминированная и вероятностная
модели системы хищник — жертва. Применение статистического
моделирования. Стохастическая модель эпидемии. Пороговая пре-
дельная теорема для финальных вероятностей. Приложения в техни-
ке. Вычисление стационарного распределения для системы массового
обслуживания
0 ;
T
0.
T
Сведения из истории развития теории случайных процессов.
Макроскопический и микроскопический, детерминистический и сто-
хастический, непрерывный и дискретный подходы при построении
математических моделей сложных систем. Перечисление основных
схем взаимодействий, задача классификации схем.
В курсе «Дополнительные главы теории случайных процессов» раз-
бираются примеры применения аналитических методов решения диф-
ференциальных уравнений Колмогорова для переходных вероятностей
процесса
1
( ( ), , ( ))
n
t
t
для моделей схем (1) в случае процессов ли-
нейного типа. При решении уравнений для марковских процессов ис-
пользуется аппарат производящих функций и методы теории ветвящих-
ся процессов [13]. Дается типовой расчет по явным решениям таких
уравнений — используются методы обыкновенных дифференциальных
уравнений, уравнений в частных производных первого порядка, инте-
гральные преобразования, а также асимптотические методы.
В курсе «Марковские модели систем с взаимодействием» в
случае процессов квадратичного типа уравнения Колмогорова явля-
ются уравнениями в частных производных второго порядка смешан-
ного типа. Поэтому в типовом расчете [2] в большей степени приме-
няются численные методы. Для исследования случайных процес-
сов
1
( ( ), , ( ))
n
t
t
студентами используется итерационный алго-
ритм моделирования на ЭВМ процессов с дискретными состояниями
[12] и метод Монте-Карло статистических испытаний [18].
В работах [6, 8, 11] предложены ограниченные по применению
аналитические методы решения дифференциальных уравнений для
переходных вероятностей процесса
1
( ( ), , ( ))
n
t
t
для схемы (1) в
случаях
2
l
и
2.
n
Задачи типового расчета.
Приведем ряд вариантов типового
расчета по марковским процессам рождения и гибели квадратичного
типа [5]. Все схемы взаимодействий взяты из технической и есте-
ственно-научной литературы и публиковались в связи с прикладны-
ми задачами, рассматривавшимися на основе теории марковских
процессов с дискретными состояниями.
2
;
T T
0, 2 ;
T
T
квазистационарное распределение [7].
3 2 ;
T T
2 3 ;
T T
0;
T
0 ;
T
бистабильная система [17].
1
2
2
;
T T
2
1
0, ;
T T
два поглощающих состояния [11].
