Постановка специального курса «Марковские модели систем с взаимодействием»
3
где
i
j
,
i
j
,
= 1, ,
i
l
,
= 1,
,
j
n
— целые неотрицательные числа.
Схемой (1) может быть учтено поступление элементов извне (откры-
тая система) и образование конечных элементов (финального про-
дукта).
В начале учебного курса излагается классический детерминиро-
ванный подход к моделированию кинетической схемы (1). Вводят
количество
( )
i
x t
элементов типа
i
T
,
= 1, , ,
i
n
в момент времени
t
,
[0, )
t
. Функции
1
( ), , ( )
n
x t
x t
удовлетворяют системе нелиней-
ных обыкновенных дифференциальных уравнений, или кинетических
уравнений [16],
1
1 1
1
1
= ( , , );
..........................
= ( , , );
......................
= ( , , )
n
i
i
n
n
n
n
x f x
x
x f x
x
x f x
x
(2)
с начальными условиями
0
0
1
1
(0) = , , (0) =
n
n
x
x x
x
. Вид функций
1
, ,
n
f
f
определяется схемой (1) по законам формальной кинетики
[16]: для ординарной схемы превращений
1
2
T T
полагают
1
1
= ;
x
x
2
1
=
x x
; для бинарной схемы взаимодействий
1 2
3
T T T
полагают
1
1 2
=
x
x x
;
2
1 2
=
x
x x
;
3
1 2
=
x x x
, где
> 0
— константа.
В прикладных задачах функции
1
, ,
n
f
f
являются многочленами
степени не выше третьей.
Содержание курса главным образом основано на вероятностной
модели [11, 14, 15] для схемы взаимодействий (1) в виде однородного
во времени многомерного марковского процесса
1
( ( ), , ( )),
n
t
t
[0, ),
t
на дискретном фазовом пространстве
1
={ = ( , ,
),
= 0, 1, 2, , =1, , }.
n
n
i
N
i
n
Состояние
1
( , ,
)
n
соответствует наличию
1
элементов типа
1
, ,
n
T
элементов типа
n
T
, и строке
1 1
1 1
i
i
i
i
n n
n n
T
T T
T
соответствует скачок случайного процесса из состояния
1
( , , )
n
в
состояние
1 1 1
(
, ,
)
i
i
i
i
n n n
. Если процесс для каждого из
состояний
1
( , ,
)
n
может совершить скачок только в состояние
1
( , , )
n
такое, что
|
| 1
i
i
для
= 1, , ,
i
n
то имеем
многомерный процесс рождения и гибели [18]. В состоянии
1
( , ,
)
n
процесс находится случайное время с показательным
