8 / 18
В.С. Зарубин, И.Ю. Савельева, Е.С. Сергеева
8
Инженерный журнал: наука и инновации
# 12·2017
где
1
,
C
2
C
— объемные доли включений и матрицы соответственно,
причем
1 2
*
1 .
C C C
Эффективные модули пористого однородного материала.
При
1
N
каркас пористого твердого тела состоит из однородного матери-
ала с модулями упругости
1
K
и
1
.
G
Тогда использованная при постро-
ении двойственной вариационной формулировки задачи структурная
модель пористого тела в виде комбинации не взаимодействующих
между собой фрагментов и пор приводит к формальному совпадению
верхней и нижней оценок каждого из модулей упругости. Действи-
тельно, в этом случае
1
*
1 ,
C C
и поэтому неравенства (22) и (23)
переходят в равенства
* 1
1
K C K
и
* 1
1
G C G
соответственно.
Такой результат обусловлен особенностью принятой выше структур-
ной модели пористого тела, которая при
1
N
представляет его как
однородное с объемом ,
V
но вклад в упругие характеристики этого
тела вносит материал, образующий каркас данного тела и занимающий
лишь объем
*
1
.
C V
Существует ряд подходов к оценке модулей упругости пористого
тела в случае
1.
N
Один из таких подходов связан с использовани-
ем метода вириального разложения [8] при предположении формы
шаровой поры как статистически усредненной множества возможных
форм. В этом случае при малой пористости можно получить линей-
ные зависимости от
*
C
в виде
1
1
*
*
1
1
1
1
1 ν
1 ν
1 3
;
1 15
,
2 1 2ν
7 5ν
K
G
K
C
G
C
K
G
(24)
где
,
K
G
— модули упругости рассматриваемого пористого тела;
1
1
1
1 1
ν
2 3 2
K G K G
— коэффициент Пуассона материала
каркаса этого тела.
С возрастанием пористости достоверность оценки по формулам (24)
быстро убывает. Если в первом приближении учесть возмущение
напряженно-деформированного состояния в материале каркаса в
окрестности отдельно взятой поры, имеющей форму шара, то тогда
также методом вириального разложения можно получить более точные
зависимости [8]:
* 1 1
* 1 2
*
*
*
* 1 1
*
* 1 2
9
4
1
;
1
,
1
9
1
4
C K A
C G A
K
G
C C K A
C C G A
(25)
где
1
1
1
1
2
1
1
1
1 6 1 ν 1 2ν ;
15 4 1 ν 7 5ν .
A K
A
G