Двусторонние оценки модулей упругости пористого твердого тела

3 / 18

Двусторонние оценки модулей упругости пористого твердого тела
Инженерный журнал: наука и инновации # 12·2017 3
Каждый из тензоров четвертого ранга имеет по два линейных инва-
рианта, значения которых не зависят от ориентации координатных осей.
Для тензоров с компонентами, определенными соотношениями (4), эти
инварианты с учетом формул (3) можно записать в следующем виде [7]
(здесь и далее использовано правило суммирования слагаемых по по-
вторяющимся в сомножителях латинским индексам):
9 ; 10 3 ;         
iimm ijmn ijmn imim ijmn ijmn C C V K C C D G K (5)
1 ; S 5 2 1 3 .         
iimm ijmn ijmn imim ijmn ijmn S S V K S D G K (6)
Связь между компонентами напряжений  
σij M и деформации
 
εij M тензоров второго ранга в отдельных фрагментах будут
определять соотношения      
σ ε 
ij ijmn mn M C M M или  
ε 
ij M
   
σ ,  ijmn mn S M M ',  M V а в порах при  M V примем  
σ 0 
ij M
и   0. 
ijmn C M Тогда средние по всему объему V рассматриваемого
пористого тела значения компонент тензоров напряжений и деформа-
ции примут вид
       
' '
1 1
σ σ ; ε ε .    
ij ij ij ij
V V
M dV M M dV M
V V
(7)
Эффективными будем считать искомые значения K и , G кото-
рые входят в соотношения (4) и связывают между собой средние зна-
чения компонент тензоров напряжений и деформации, т. е. удовле-
творяют равенствам
σ ε ; ε σ .    
ij ijmn mn ij ijmn mn C S (8)
Значения модулей упругости определим из условия совпадения
объемной плотности потенциальной энергии деформации макроско-
пически изотропного пористого твердого тела со средним значением
этой плотности в объеме V с учетом упругих свойств фрагментов
этого тела. Такое условие, используя формулы (4) и (8), можно пред-
ставить либо через компоненты тензоров упругости
   
'
1 1 1
σ ε ε ε ε ε ,
2 2 2
   
ij ij ijmn ij mn ijmn ij mn
V
C C M M dV
V
(9)
либо через компоненты тензоров податливости
   
'
1 1 1
σ ε σ σ σ σ .
2 2 2
   
ij ij ijmn ij mn ijmn ij mn
V
S S M M dV
V
(10)