Двусторонние оценки модулей упругости пористого твердого тела

В.С. Зарубин, И.Ю. Савельева, Е.С. Сергеева

Инженерный журнал: наука и инновации

# 12·2017

Значения интегралов, входящих в равенства (9) и (10), оценим,

используя двойственную вариационную формулировку задачи ли-

нейной упругости неоднородного пористого твердого тела, состоя-

щего из хаотически ориентированных изотропных фрагментов.

Двойственная вариационная формулировка задачи.

Истинному

напряженно-деформированному состоянию линейно упругого твердого

тела соответствуют совпадающие между собой экстремальные значения

двух альтернативных функционалов (наименьшее значение функциона-

ла Лагранжа и наибольшее значение функционала Кастилиано [7]). Эти

функционалы входят в двойственную вариационную формулировку за-

дачи линейной упругости неоднородного твердого тела. На распределе-

нии перемещений, соответствующем деформированному состоянию те-

ла, отличающемуся от истинного, значение функционала Лагранжа

будет превышать экстремальное значение, а значение функционала

Кастилиано на распределении напряжений, не совпадающем с истин-

ным, наоборот, будет меньше экстремального. Если на внешней по-

верхности пористого тела и на поверхности пор заданы проекции век-

тора перемещения, то функционал Лагранжа

содержит лишь

интеграл, представленный в правой части соотношения (9), а при зада-

нии на этих поверхностях проекций вектора плотности поверхностных

сил в выражение для функционала Кастилиано

входит только инте-

грал из правой части соотношения (10), взятый с обратным знаком.

На внешней поверхности

рассматриваемого твердого тела

можно задать такие значения проекций на координатные оси вектора

перемещения, которые приводят к линейным зависимостям от коор-

динат проекций

  







u M M V

вектора перемещений. Этим зави-

симостям, согласно соотношениям Коши





2 ,

     

u x u x

соответствуют компоненты ε const





тензора деформации, вслед-

ствие второй формулы (7) совпадающие с компонентами ε .

Такие

распределения перемещений являются допустимыми для функциона-

ла Лагранжа, минимизируемого на истинном распределении переме-

щений и удовлетворяющего в данном случае неравенству

ε ε









 

ijmn ij mn

dV C

dV J

(11)

где

— наименьшее значение функционала, достигаемое на истин-

ном распределении

  





M M V

компонент тензора деформации.

Поскольку рассмотренный выше подбор линейных зависимостей

 



u M







M V

произволен, среди них возможно такое сочетание,