Двусторонние оценки модулей упругости пористого твердого тела

5 / 18

Двусторонние оценки модулей упругости пористого твердого тела
Инженерный журнал: наука и инновации # 12·2017 5
которое обеспечит удовлетворение равенства (8). Тогда вместо соот-
ношения (11) можно записать
'
1 ε ε ε ε .
2 2
    
ijmn ij mn ijmn ij mn
V
V
C dV C
Отсюда с учетом равенств ε =ε
ij mn следует
'
.   
ijmn ijmn
V
C dV C V
После умножения полученного неравенства сначала на ,
ijmn V а за-
тем на 3, 
ijmn ijmn D V с учетом формул (4) получим соотношения, со-
держащие линейные инварианты тензоров коэффициентов упругости:
   
'
9 ;    
iimm iimm
V
C M dV M C V KV (12)
     
'
3 3 10 .
 
     
 
 
  
imim iimm imim iimm
V
C M C dV M C C V GV (13)
Пусть теперь на внешней поверхности S пористого тела и на по-
верхностях пор заданы проекции вектора плотности поверхностных
сил, вызывающие в объеме ' V этого тела напряженное состояние
с компонентами σ const 
ij тензора напряжений, что в соответствии
с первой формулой (7) приводит к равенству
 
* σ 1 σ .  
ij ij C (14)
Такое распределение напряжений является допустимым для функ-
ционала Кастилиано, максимизируемого на истинном распределении
напряжений и удовлетворяющего в данном случае неравенству
*
2 2
' '
1 1
σ σ σ σ .
2 2
        
ijmn ij mn ijmn ij mn
V V
J S dV S dV J (15)
Здесь *
2 J — наибольшее значение функционала, достигаемое на ис-
тинном распределении    
σ ' 
ij M M V компонент тензора напря-
жений.
Вследствие произвольности подбора проекций вектора плотности
поверхностных сил возможно такое сочетание проекций, которое
обеспечит удовлетворение равенства (10). Тогда соотношение (15)
можно представить в виде