7 / 18
Двусторонние оценки модулей упругости пористого твердого тела
Инженерный журнал: наука и инновации
# 12·2017 7
1
2
*
1
1
.
N
C
K C
K
K
(19)
Аналогичное применение второй формулы (5) к соотношению (13)
приводит к верхней оценке эффективного значения модуля сдвига
данного тела в виде
1
.
N
G C G G
(20)
Применение второй формулы (6) к соотношению (17) позволяет
получить нижнюю оценку эффективного значения этого модуля:
1
2
*
1
1
.
N
C
G C
G
G
(21)
Формулы (18) и (20) можно также получить с привлечением тео-
рии смесей [9], полагая в порах значения объемного модуля упругости
и модуля сдвига равными нулю и представляя оценки модулей как ли-
нейные комбинации параметров жесткости фрагментов тела, опреде-
ляемых модулями упругости. При этом коэффициентами линейных
комбинаций являются объемные доли
α
C
фрагментов в неоднородном
теле. Однако из этой теории (в отличие от использованного выше ва-
риационного подхода) не следует, что такие формулы определяют
именно верхние оценки эффективных значений указанных модулей
упругости. Для неоднородного тела в теории смесей рассматривают
также оценки, которые следуют из равенства характеристик податли-
вости такого тела и линейных комбинаций податливостей фрагментов,
определяя податливости величинами, обратными модулям упругости.
Применительно к пористому телу податливость пор будет бесконечно
большой, что приведет в итоге к нулевым нижним оценкам модулей
упругости этого тела. Если же не учитывать влияние пор, то нижние
оценки модулей упругости пористого тела будут некорректными и мо-
гут оказаться, согласно теории смесей, даже выше верхних оценок,
определяемых формулами (18) и (20).
Если пористое твердое тело является пористым композитом
с включениями из одного и того же изотропного материала с моду-
лями упругости
1
,
K
1
G
и матрицей с модулями упругости
2
,
K
2
,
G
то формулы (18)–(21) можно представить в виде
2
1 1 2 2
*
1 1 2 2
1
;
K C K C K K C C K C K K
(22)
2
1 1 2 2
*
1 1 2 2
1
,
G C G C G G C C G C G G
(23)