12 / 18
В.С. Зарубин, И.Ю. Савельева, Е.С. Сергеева
12
Инженерный журнал: наука и инновации
# 12·2017
однородного материала с модулями упругости
1
K
и
1
,
G
заключается
в переходе к структурной модели условного композита. В последнем
часть этого материала исполняет роль сплошной матрицы, а армиру-
ющими элементами являются включения в виде пор, к которым при-
соединена остальная часть этого же материала (в случае замкнутых
пор можно считать, что каждая из них окружена некоторым слоем
материала каркаса). Тогда каждую пору с присоединенным к ней ма-
териалом каркаса можно рассматривать как условное сплошное
включение в матрицу, имеющее некоторые эквивалентные модули
упругости
*
K
и
*
.
G
Применительно к такой модели можно использо-
вать известные варианты оценок эффективных значений модулей
упругости композитов с дисперсными включениями [8, 15, 16].
При заданной пористости
*
C
рассматриваемого тела объемное
содержание
*
'
C
условных сплошных включений будет удовлетво-
рять неравенству
* *
'
,
C C
в котором равенство формально соответ-
ствует предельному случаю отсутствия материала каркаса, когда
*
1.
C
Простейший вариант определения эквивалентных модулей
таких включений состоит в использовании верхних оценок, опреде-
ляемых соотношениями (22) и (23), которые следуют из представ-
ленной выше двойственной вариационной формулировки задачи.
Тогда из равенств
* 1
* 1
* *
1
1 '
'
C K C K C K
и
* 1
1
C G
* 1
* *
1 '
'
C G C G
находим
*
* 1
* * * * 1
* *
1
' ;
1
' .
K K K C C G G G C C
(29)
С учетом тех же соотношений (22) и (23) для построенной струк-
турной модели условного композита получаем в виде безразмерных
отношений нижние оценки модулей упругости
1
*
* *
1
*
* *
1 1 '
'
;
1 1 '
'
.
c
c
c
c
K K K
C C K G G G
C C G
(30)
В достаточно общем случае связь между значениями
*
'
C
и
*
C
целесообразно определить степенной зависимостью в виде
* *
'
,
n
C C
где
(0; 1).
n
При
1
n
условное сплошное включение вырождается
в пору и эквивалентные модули принимают нулевые значения, а при
0
n
значения эквивалентных модулей совпадают с полученными
выше верхними оценками.
На рис. 3 представлены зависимости
*
'
C
от
*
C
при различных зна-
чениях
,
n
причем сплошная прямая со светлыми кружками соответ-
ствует
1,
n
сплошная без символов —
0, 9,
n
штрихпунктирная —