Двусторонние оценки модулей упругости пористого твердого тела

6 / 18

В.С. Зарубин, И.Ю. Савельева, Е.С. Сергеева
6 Инженерный журнал: наука и инновации # 12·2017
'
1
σ σ σ σ ,
2 2
    
ijmn ij mn ijmn ij mn
V
V
S dV S
что позволяет с учетом равенств (14) записать
 2
*
'
1 .    
ijmn ijmn
V
S dV S V C
Умножая это неравенство сначала на ,
ijmn V а затем на 
ijmn D
3,  ijmn V получаем два соотношения, содержащие линейные инва-
рианты тензоров коэффициентов податливости:
        2
2 *
*
'
1
1 ;

    
ijmn ijmn
V
C
S M dV M S C
K
(16)
          2
2 *
*
'
5 1
3 3 1 .
2
  
      
 
 
  
imim iimm imim iimm
V
C
S M S dV M S S C
G
(17)
Из приведенных выше свойств функционалов Лагранжа и Касти-
лиано следуют неравенства *
1 1 J J и *
2 2,  J J позволяющие предста-
вить двусторонние оценки эффективных значений модулей упруго-
сти рассматриваемого твердого тела через модули упругости и доли
объема этого тела, занимаемые его отдельными фрагментами.
Двусторонние оценки эффективных модулей. Пусть рассматри-
ваемое неоднородное пористое тело состоит из N фрагментов, и
фрагмент с номером α = 1, N имеет объем ,
 V объемный модуль
упругости  K и модуль сдвига .
 G Тогда доля суммарного объема V
тела, занимаемая этим фрагментом, будет равна ,
  C V V причем
*
1
1 .


  N
C C
Из соотношения (12), применяя первую формулу (5) к каждому
из фрагментов, получаем верхнюю оценку эффективного значения
объемного модуля данного тела в виде
1
. 
 

  N
K C K K (18)
Применив первую формулу (6) к каждому из фрагментов, из со-
отношения (16) получим формулу для нижней оценки эффективного
значения этого модуля: