2 / 18
В.С. Зарубин, И.Ю. Савельева, Е.С. Сергеева
2
Инженерный журнал: наука и инновации
# 12·2017
Данная работа посвящена построению двусторонних оценок воз-
можных эффективных значений модулей упругости пористого тела,
в том числе для случая пористого тела, каркас которого состоит из
однородного материала, когда применение известных методов не
позволяет получить корректную нижнюю границу.
Основные соотношения и допущения.
Рассмотрим пористое не-
однородное твердое тело, состоящее из упругоизотропных фрагмен-
тов. Пусть для этого тела объемом
V
с объемной пористостью
*
C
и суммарным объемом пор
* *
V C V
в точках
*
'
\
M V V V
известны
значения объемного модуля упругости
K M
и модуля сдвига
G M
материала соответствующего фрагмента.
Если ввести фиксированную прямоугольную декартову систему
координат
1 2 3
,
Ox x x
то упругие свойства каждого фрагмента можно
характеризовать определенными в этой системе компонентами [7]
3
2
, , , ,
1, 2, 3,
ijmn
ijmn
ijmn
C M K M V G M D i j m n
(1)
тензора четвертого ранга коэффициентов упругости или компонен-
тами
3
2
, , , ,
1, 2, 3,
ijmn
ijmn
ijmn
S M V K M D G M i j m n
(2)
обратного ему тензора коэффициентов податливости, где
,
ijmn
V
ijmn
D
—
компоненты объемной и девиаторной составляющих единичного тензо-
ра четвертого ранга с компонентами
.
ijmn
I
Данные составляющие можно представить через символ Кроне-
кера δ ,
ij
равный единице при
i j
и нулю при
i j
и определяющий
компоненты единичного тензора второго ранга [8]:
δ δ 3;
δ δ δ δ 2
.
ijmn ij mn
ijmn
im jn in jm
ijmn
V
D
V
(3)
При хаотической ориентации фрагментов рассматриваемое твер-
дое тело будет макроскопически изотропным [8] и для описания его
упругих свойств достаточно двух независимых параметров, в каче-
стве которых выберем подлежащие оценке объемный модуль упруго-
сти
K
и модуль сдвига
.
G
Этим модулям можно поставить в соответствие изотропные тен-
зоры коэффициентов упругости и податливости с компонентами со-
ответственно
3
2
;
3
2 .
ijmn
ijmn
ijmn ijmn ijmn
ijmn
C KV GD S V K D G
(4)