Категорная модель теории вероятностей для интеллектуальной обучающей системы - page 9

Категорная модель теории вероятностей для интеллектуальной обучающей...
9
Следствие 1. Все Ω -объекты являются атомарными и инъек-
тивными. Отметим, что в категории Ω не существует проективных
объектов.
Из теоремы 3 получаем также следующее характеризационное
свойство дискретных случайных величин.
Следствие 2. Полугруппа автоморфизмов объекта Ω является
группой тогда и только тогда, когда ξ — дискретная величина.
Алгебраические и геометрические свойства объектов. Пусть
1 2 ξ (ξ , ξ , , ξ )n   и  
δ
n O x — n -мерный открытый шар радиусом
0   с центром в точке n x R . Введем обозначение  
δ p x для веро-
ятности    
δ ξ . n P O x
Определение 1. Носителем вероятностной меры случайной вели-
чины ξ назовем множество    
δ supξ : 0 . x p x   
Для любой точки supξ x  возьмем произвольную окрестность
 
δ
n O x , для которой  
δ 0 p x  . Пусть η F — условное распределение
случайной величины  
δ ξ, ξ n O x  . (Мере η dF отвечает некоторая
случайная величина η η(ξ, δ) и объект η Ω .)
Определение 2. Геометрической размерностью случайной вели-
чины ξ в точке , supξ, x x  назовем такое число ( ) q q x , для кото-
рого     
0 0 δ δ δ δ dim(supξ ) n O x q      .
Под геометрической размерностью величины ξ будем понимать
максимум из локальных размерностей (по всем точкам supξ x  ):
       
ξ max : ξ ; ξ ( ) : supξ . q q q Q Q q x x    
Например, для n-мерной случайной величины ξ всегда ξ q n .
Дискретная величина имеет нулевую геометрическую размерность.
В соответствии с теоремой Лебега нарушение свойства непре-
рывности функции распределения ξ F происходит только тогда, когда
  0 ξQ  .
Изучение геометрической размерности носителя вероятностной
меры позволяет классифицировать многомерные распределения.
Множества      
sup ξ : , ξ ,
q x q x q q Q    образуют разбиение но-
сителя вероятностной меры случайной величины ξ :
 ξ
supξ sup ξ.q
q Q
 