Категорная модель теории вероятностей для интеллектуальной обучающей системы - page 10

Н.С. Васильев
10
Геометрические свойства величин не являются категорными
(универсальными), но придают наглядность при изучении теории.
Замечание 2. Нетривиальное разбиение носителя говорит о том,
что вероятностное распределение случайной величины ξ является
смесью простых распределений, для которых разбиение носителя ме-
ры тривиально, т. е.   ξ ξ { } Q q . Это позволяет проводить доказатель-
ство, например, теоремы 3 лишь для случая простых распределений.
Пусть объект η Ω отвечает условному распределению величины
0 ξ, ξ sup ξ . Выделение нульмерной составляющей 0 sup ξ и значе-
ний вероятностей в точках 0 sup ξ x  полностью характеризует полу-
группу автоморфизмов  ξ SG объекта ξ Ω .
В самом деле, рассмотрим автоморфизмы подполугруппы 1 SG
объекта Ω u и группы  
0 η G , дискретного объекта η Ω . Тогда спра-
ведлива следующая теорема.
Теорема 4. Имеет место изоморфизм    
1 0 ξ η SG SG G  .
Следствие 3. Объекты ' ξ ξ Ω ,Ω изоморфны в том и только в том
случае, когда изоморфны полугруппы их автоморфизмов и совпада-
ют вероятности
 
0 0 (ξ sup ξ) ξ' sup ξ' . P P   
Объекты (случайные величины) с изоморфными полугруппами
автоморфизмов естественно назвать подобными. Для подобных
объектов пересчет вероятностей сводится к перенормировке этих
величин.
Понятие независимости случайных величин . На интуитивном
уровне в основе важного понятия независимости лежит различное
«происхождение» случайных величин. В предложенной модели бы-
ли изначально исключены исходные выборочные пространства слу-
чайных величин. Неполнота категории Ω , в которой отсутствуют
произведения, препятствует тому, чтобы дать универсальное «стре-
лочное» определение этому понятию. Остается открытым вопрос,
обладает ли понятие независимости случайных величин чертами
универсальности хотя бы в каком-нибудь ослабленном виде.
Напомним некоторые определения. Под диаграммой D в кате-
гории понимают любую конфигурацию стрелок (морфизмов). При
этом особый интерес представляют коммутативные диаграммы
[6–8]. Из любой диаграммы D с помощью добавления каких-либо
стрелок (морфизмов) можно построить новые диаграммы. Напри-
мер, конус ( ) K UD получается с помощью расширения D благодаря