Категорная модель теории вероятностей для интеллектуальной обучающей системы - page 4

Н.С. Васильев
4
чину в другую и переносит вероятностную меру из области в кооб-
ласть морфизма.
В зависимости от вида функций распределения в категории слу-
чайных величин Ω можно выделять различные подкатегории, объ-
екты которых отвечают абсолютно непрерывным Ω p , сингулярным
Ω s и дискретным Ωd вероятностным распределениям [9]. Объекты
подкатегорий Ω p или Ω s задаются непрерывными распределения-
ми. Дополнительный верхний индекс , 1, 2, , n n   будем использо-
вать для обозначения подкатегории Ω n случайных величин размер-
ности, не большей n . Класс абсолютно непрерывных распределе-
ний (имеющих плотность вероятности) размерности , 1, 2, , n n  
составляют объекты подкатегории , Ω p n .
В соответствии с теоремой Лебега в подкатегории 1 Ω всякая
функция распределения ξ F однозначно раскладывается на три со-
ставляющих ξ
a s d F F F F   — абсолютно непрерывную, сингу-
лярную и дискретную [9]. В подкатегориях Ω , 1, n n  «дискретная»
составляющая функции распределения может быть устроена гораздо
сложнее — возможны поверхности разрыва различных размерностей,
а не только нульмерные, подобно «обычным» дискретным случай-
ным величинам.
В категории Ω существуют конечные объекты (единица 1 Ω )
[6–8] — дискретные одноточечные распределения. Случайная ве-
личина, соответствующая объекту 1 Ω , принимает единственное
значение. Категория Ω не является полной, не содержит, напри-
мер, нуля и произведений.
Заметим, что все морфизмы категории Ω являются эпиморфиз-
мами, а действие морфизмов описывает известная эргодическая тео-
рема Биркгофа [13–15].
Существование образующего объекта. В образующем объекте
0 Ω содержится все «богатство» категории. В случае его существова-
ния (это предстоит доказать) 0 Ω можно считать выборочным про-
странством любой случайной величины: 0 ξ φ : Ω Ω . Ядро ker φ за-
дает отношение эквивалентности на пространстве 0 Ω , по которому
определены фактор-пространство 0 Ω / ker φ с фактор-алгеброй
/ kerφ
B [8].
С помощью естественного отображения 0 0 τ : Ω Ω / ker φ пере-
несем вероятностную меру из пространства 0 Ω в фактор-
пространство 0 Ω /ker φ .