Категорная модель теории вероятностей для интеллектуальной обучающей системы - page 6

Н.С. Васильев
6
  , Π , 1, 2, , .
j j p x c x j r    
Здесь параллелепипеды Π , 1, 2, , ,j j r   образуют разбиение n I .
Методом математической индукции, проводимой по числу паралле-
лепипедов разбиения, доказывается изоморфизм ξ Ω Ωn c
u  .
Не ограничивает общности предположение о том, что произволь-
ная случайная величина ξ принимает значения в кубе n I . Аппрокси-
мируем ξ слабо сходящейся последовательностью {ξ , 1, 2, }
s s  
случайных величин ξ c , имеющих кусочно-постоянную плотность ве-
роятности ξ s p . Функцию 1 ξ s p  будем строить по ξ s p , изменяя послед-
нюю на кубах Π , 1, 2, , s
j s j j   . Для этого разбиваем Πs
j и на 2n ку-
бов и на получаемых частях 1 Πs
j
 задаем постоянные значения функ-
ции 1 ξ s p  , обеспечивающие более точное (в сравнении с ξs p ) прибли-
жение к распределению ξ p .
Согласно доказанному, существуют изоморфизмы 1 ξ φ : Ω s s  
 
ξ 0 Ω ξs
n u   . При этом их действие таково, что, отбросив часть кубов
Πs
j произвольно малого суммарного объема (при s  ), для оставших-
ся множеств имеем  
φ Π Π ,s s
k j j k s   .
Определим последовательность изоморфизмов:
ξ 1 1 ψ : Ω Ω , φ φ φ , 1, 2,
n s s s s s
u s
         
Поскольку все множества s Π j сжимаются в точку при s  , то,
согласно изложенному выше, почти всюду имеет место поточечная
сходимость    
*
ξ ψ ψ ,
s x x s   , последовательности функций
{ψ }s . Благодаря слабой сходимости ξ ξs  , предельная функция *
ξ ψ
определяет морфизм *
ξ : Ω Ωn u    . Ввиду произвольности ξ этим
доказано, что Ω n u — образующий объект в подкатегории Ω n .
Пусть теперь 
B B есть  -алгебра на R    , порожденная
цилиндрическими множествами. Рассмотрим семейство согласован-
ных вероятностных мер { , }
n u dF n   на  -алгебрах ( , ) n n R B . По
теореме Колмогорова о согласованных распределениях [9] в про-
странстве ( , ) B существует единственная вероятностная мера ,
P
такая, что ее проекции : n
n R   совпадают с , 1, 2,
n u dF n   . По
построению все функции π n являются морфизмами.