Категорная модель теории вероятностей для интеллектуальной обучающей системы - page 3

Категорная модель теории вероятностей для интеллектуальной обучающей...
3
Определим категорию случайных величин Ω . Изучение случай-
ной величины  
1 2 ξ ξ , ξ , , ξn   сводится к нахождению и исследова-
нию свойств ее функции распределения ξ F [9]. Введение функции
распределения позволяет рассматривать векторное пространство n R
с заданной на нем вероятностной мерой ξ dF в качестве выборочного
пространства случайной величины ξ . Эта мера из алгебры «прямо-
угольных» множеств однозначно продолжается в σ -алгебре n
B всех
борелевских множеств n B R [9, 13–15].
Этим объясняется выбор вероятностных пространств  
ξ ξ Ω , , n n
R dF  B
в качестве объектов категории Ω . Разумеется, разные случайные вели-
чины могут соответствовать одному и тому же вероятностному про-
странству. Наличие ξ в обозначении ξ Ω подчеркивает существование
этого соответствия. Будем считать, что все случайные величины ξ при-
нимают значения в конечномерных подпространствах ξ R универсума
, {1, 2, } R       . Элементы  , у которых лишь конечное число
координат, отвечающих R , не равно нулю, служат значениями случай-
ной величины  . Цилиндрические борелевские подмножества
' '
ξ ξ ξ , B R R R   , образуют σ -алгебру, на которой задана вероятност-
ная мера ξ dF .
Рассмотрим класс измеримых по Борелю функций ξ η : f R R [9].
Введем отношение эквивалентности 1 2 ~ f f , означающее совпадение
значений этих функций всюду на общей области определения, за ис-
ключением, быть может, подмножества нулевой меры ξ dF . Класс эк-
вивалентности  f функции f по этому отношению назовем морфиз-
мом ξ η : Ω Ω f  . Квадратные скобки в обозначении морфизмов бу-
дем опускать.
Определим произведение морфизмов 1 2 f f как класс эквива-
лентности функции, являющейся суперпозицией произвольных
представителей классов 1 2 [ ], [ ]f f соответственно. Единичными
морфизмами служат тождественные преобразования выборочных
пространств ξ R . Корректность данных определений устанавливает-
ся непосредственно. Не вызывает затруднений и проверка того, что
система указанных объектов и морфизмов образует категорию.
Упрощая запись, считаем, что морфизмы определяются функциями
: f    . Всякий морфизм f преобразует одну случайную вели-