Категорная модель теории вероятностей для интеллектуальной обучающей...
11
добавлению всех морфизмов вида
:
f U D
, где
D
— произволь-
ный объект диаграммы
D
.
Для выражения понятия независимости случайных величин на
категорном языке важен случай коммутативного квадрата-конуса
,
K U
D
получаемого из диаграммы
D
вида
1
2
1
0
2
U U U
. В рас-
сматриваемой категории соответствующий объект
U
всегда суще-
ствует. Для построения
*
U U
достаточно применить к диаграм-
ме
D
забывающий функтор
Φ :Ω SET
и рассмотреть
1
2
Φ Φ
U U
— произведение в категории множеств
SET.
Затем на
построенном множестве можно ввести вероятностную меру так, что-
бы проекции объекта
U
на сомножители
1 2
,
U U
стали морфизмами.
В случае непрерывных распределений на
1 2
,
U U
и конечности дис-
кретной составляющей распределения на
0
U
на множестве
1
2
Φ Φ
U U
удается ввести вероятностную меру с кусочно-
постоянной плотностью.
Далее будем рассматривать случай
0
U
, причем
0
U
является ко-
нечным объектом:
0
1
U
. Ослабим стандартную конструкцию уни-
версального конуса [6, 7], исследовав свойство универсальности в
классе коммутативных диаграмм
( )
K S
D
специального
вида. Именно
объекты
S
отвечают равномерным распределениям, заданным на де-
картовых произведениях некоторых множеств , 1, 2
i
S i
. В качестве
морфизмов
:
,
f S D D
D
в диаграмме
( )
K S
D
выбирают только те
морфизмы, которые пропускаются [6, 7] через проекции π :
i
i
S S
.
Такие объекты
S
назовем расслоенными.
Определение 3.
Пусть диаграмма
D
имеет вид
1
2
1
2
1
U U
. Ко-
нус
*
( )
K U
D
назовем слабо универсальным, если для любого рассло-
енного объекта
S
найдется единственный морфизм
*
S U
, для ко-
торого диаграмма
*
*
*
,
{ }
( )
( )
S U S U
K U
K S
D
D
D
коммутативна.
При этом объект
*
U
назовем слабо расслоенным произведением
объектов
1 2
,
U U
или слабым пределом диаграммы
D
.
В следующей теореме прояснен категорный смысл понятия неза-
висимости.
