Н.С. Васильев
12
Теорема 5.
Вероятностное распределение слабого предела
*
U
диаграммы
D
определено однозначно. Проекции
*
ξ :
,
1, 2,
i
i
U U i
являются
независимыми
случайными величинами.
Доказательство
.
В соответствии с замечанием 2 обоснование
теоремы достаточно провести для простых диаграмм
*
,
U U
D
.
Далее в рассуждениях всюду полагаем
U S
. «Сборка» всех про-
стых диаграмм полностью определяет исходную диаграмму, иско-
мый объект
*
U
и единственный морфизм
*
U U
.
Не ограничивая общности, можно считать, что все объекты диа-
граммы
*
,
U U
D
отвечают равномерным распределениям на «ку-
бах»
q
I
. Здесь
q
— геометрическая размерность объекта
.
Можно
также считать, что геометрические размерности объектов не убыва-
ют, если подниматься по диаграмме
K
D
против стрелок, начиная
с объекта
0
1
U
.
К диаграмме
*
,
U U
D
применим забывающий функтор
Φ : Ω
SET
. Ввиду полноты категории множеств
SET
[6, 7] существует
предел
V
диаграммы Φ
D
, называемый обратным образом отображе-
ний
1
2
Φ ,Φ
, и единственное отображение
F
вида
1
2
Φ ,Φ : Φ , :
, 1, 2
j
j
F f
f
U V f U U j
,
для которого
1
1
2
2
Φ π ; Φ π ; π :
, 1, 2.
j
j
f
F f
F V U j
По построению функция
F
является сюръективной. Покажем,
что имеется единственный способ введения вероятностной меры
на множестве
V
, превращающий
F
в искомый морфизм
*
*
:
,
Φ
F U U V U
, причем диаграмма
*
,
U U
D
коммутативна.
Анализ диаграммы
Φ
( )
K V
D
позволяет утверждать, что множе-
ство
1 2
q q
V I
можно, не ограничивая общности, представить в
виде разбиения на кубы Π
i
разных размерностей:
Π ,
i
V
1
1
1
0
2
0
0
0
Π (Φ ) Φ (Φ ) Φ , Φ Φ
i
i
i
i
U
U U U
.
Здесь множества
0
i
U
также образуют разбиение
0
0
i
U U
.
