Категорная модель теории вероятностей для интеллектуальной обучающей системы - page 5

Категорная модель теории вероятностей для интеллектуальной обучающей...
5
Теорема 1 (об изоморфизме). Пусть 0 ξ φ : Ω Ω . Имеет место
изоморфизм вероятностных пространств 0 ξ Ω /ker φ Ω .
Теорема 2. Категория Ω содержит образующий объект 0 Ω .
Доказательство. Пусть объект Ω n u соответствует случайной ве-
личине n u , имеющей равномерное распределение на единичном кубе
, [0,1] n I I  . При 1 n  будем опускать индекс n . Сначала докажем,
что Ω n
u — образующий объект в подкатегории Ω n . Более того, для
всех случайных величин ξ с непрерывной функцией распределения
(абсолютно непрерывных или сингулярных) покажем, что имеет ме-
сто изоморфизм ξ Ω Ω n u  при некотором 1 n  .
Доказательство становится особенно наглядным в одномерном
случае: удается явно определить искомый морфизм ξ φ : Ω Ωu  .
Впрочем, этот результат был ранее получен в работе [15].
       
max : , \ 1 g u x f x u u I   
— это коретракция ξ : Ω Ωu g  , ведь ξ F является распределением
случайной величины  
ξ g u  :
             
ξ ( ) ( ) . F x P g u x P f g u f x P u f x f x       
Более того, ~f f , где f — сужение функции f на образ ( im g )
функции g . Следовательно, 1 g f    и ξ Ω Ωu  .
Рассмотрим случай дискретной случайной величины ξ
 
ξ , 1, 2,
k k P c p k   
Для построения искомого морфизма g следует разбить отрезок
I на такие подмножества k J , чтобы   , 1, 2,
k k P u J p k    ,
и определить g как   ,
k k g u c u J  , для всех k . Ввиду эпиморфно-
сти, всякая Ω -стрелка обладает свойством 1 2 f g f g   для любых
неравных стрелок 1 2, : Ω Ω f f    . Только это оставалось устано-
вить для того, чтобы сделать вывод: Ω u — образующий в подкате-
гории 1 Ω .
Рассматривая общий случай, выделим объекты ξ Ω c подкатего-
рии , Ω , 1 p n n  , для которых величины ξ c принимают значения в кубе
n I и имеют кусочно-постоянную плотность: