Категорная модель теории вероятностей для интеллектуальной обучающей...
7
Остается убедиться в том, что объект
0
Ω , ,
B P
— образу-
ющий в категории Ω . Пусть Ω
— любой объект подкатегории Ω
n
.
Тогда найдется некоторый морфизм
ξ
: Ω Ω
n
u
. Взяв композицию
π
n
и ψ , получим морфизм
0
ξ
φ ψ π : Ω Ω
n
. Теорема доказана.
Проведенные рассуждения проясняют категорный смысл теоре-
мы Колмогорова о согласованных распределениях.
Замечание 1.
Выясним, когда морфизм
*
ψ , построенный при до-
казательстве теоремы 2, является изоморфизмом. Пусть у распреде-
ления величины
ξ
имеется дискретная, для определенности нуль-
мерная, составляющая
ξ
0
P a
. Тогда преобразование
*
ξ
ψ
стяги-
вает прообраз точки
* 1
ξ
(ψ ) ( )
A
a
в точку
a
. Отсюда получаем
неинъективность отображения
*
ξ
ψ
и, как следствие, отсутствие об-
ратной стрелки
* 1
ξ
(ψ )
.
Пусть теперь распределение случайной величины
ξ
абсолютно
непрерывно. Если плотность вероятности
s
0
0,
Π ,
j
p x p x
то
под действием морфизмов φ ,
1,
2, ,
k
k s s
точка
x
не покинет
множество
s
Π
j
. Образ этого множества при отображении
*
ψ не сжи-
мается в точку в отличие от случая дискретной случайной величины.
Обратимость предельного морфизма
*
ψ сохраняется (наследуется от
семейства
{ψ }
s
x
), т.е.
*
ψ является изоморфизмом.
Рассмотрим сингулярный случай. Распределение величины
ξ
непрерывно. В кубе
n
I
имеется континуальное семейство поверхно-
стей «уровня» функции
ξ
F F
, на которых происходит ее рост:
{ :
c
x F x c
,
1
Δ 0
Δ
F x
c
,
Δ ,
}
F x
c c I
,
где
1
Δ Δ , 0, , 0
.
Вероятностная мера
dF
«сосредоточена» на множестве
c c
нулевой меры Лебега:
ξ \
0
n
P I
.
По свойству функции распределения каждая поверхность
c
пересекается с любой прямой, параллельной оси
1
x
, не более чем в
одной точке. Тогда проектирование π
c
всякой поверхности уровня
