Категорная модель теории вероятностей для интеллектуальной обучающей...
13
Коммутативность диаграмм
,
( )
K U K U
D
D
доказывает, что ве-
роятностные меры обратных образов морфизмов
Π , , ,
0, 1, 2,
i
i
i
j
U U j
1
1
1 1
0
0
(
)
; (
(
,
)
)
i
i
i
i
j
j
j
U f
U U U
U U
должны быть равны одной и той же величине
i
p
. Здесь наборы этих
множеств пронумерованы индексом
i
.
Таким образом, требуется выяснить, можно ли «согласовать» ве-
роятностные меры на борелевских
-алгебрах этих множеств. Доста-
точно дать ответ, проведя соответствующие построения для каждого
i
-го набора множеств в отдельности. Поэтому далее будем считать, что
все объекты из диаграммы
*
*
,
,
Φ
U U V U
D
отвечают равномер-
ным распределениям на кубических множествах
1 2
1 2
;
;
(
).
j
q
q q
q
j
U I V I
U I q q q
Для объекта
*
U
это служит определением. Осталось доказать, что
отображение
1 2
1 2
,
:
q q
q
F f f
I
I
является морфизмом
:
F U U
.
При этом из диаграмм известно, что
j
f
— морфизмы
: Ω Ω , 1, 2
q
q j
j
u
u
f
j
. Рассмотрим произвольные параллелепипеды
,
,
1, 2,
j
q
j
j
Q Q I j
равного объема
V
, совпадающего с объемами
полных прообразов
1
( )
j
j
f Q
. Как известно, в случае равномерных рас-
пределений вероятностная мера множества совпадает с его объемом.
Сравним величину
V
с объемом полного прообраза
1
1
2
(
)
F Q Q
, ко-
торый по виду
F
совпадает с пересечением
1
1
1
1
2
2
( )
( )
q
f Q f Q I
.
Указанные числа должны быть равными. Иначе отображение
F
не
было бы определено на всем множестве
q
I
. Следовательно,
F
—
морфизм
,
что и требовалось доказать.
На основании теоремы 5 с помощью понятия слабого предела
можно дать следующее «внутреннее» определение понятию незави-
симости случайных величин.
Определение 4.
Случайные величины
1 2
,
назовем независи-
мыми, если объект
1 2
( , )
Ω
является слабо расслоенным произведени-
ем объектом
1
2
ξ
ξ
Ω , Ω над единицей
1
Ω .
Отметим, что подкатегории Ω
n
и
1
Ω эквивалентны и Ω Ω ,
n
u
u
1
n
;
0
Ω Ω
u
.
Применение категорной модели в ИОС.
Работа в ИОС помога-
ет обучающемуся в продвижении по смыслам изучаемых понятий.
