Н.С. Васильев
8
c
на часть гиперплоскости
1
x c
взаимно-однозначно и непре-
рывно. С помощью функции
π :
n
I
семейство поверхностей
{ }
c
«склеивается» в куб
n
I
, на который переносится исходная ве-
роятностная мера. В результате приходим к абсолютно непрерыв-
ному распределению. В случае сингулярного распределения вели-
чины
ξ
также имеем
.
ξ
Ω Ω
n
u
О мономорфизмах категории
Ω
.
Опишем строение автомор-
физмов объекта
Ω
u
. Рассмотрим произвольное разбиение множества
\{0}
I
на полуинтервалы
,
,
1, 2,
j
j
j
I
a b j
Пусть сюръективная
функция
:
f I I
является кусочно-линейной (линейной на полуин-
тервалах
j
I
), причем сумма модулей производных
( )
| '( | 1
j J y
j
f x
.
Здесь суммирование проводится по не более чем счетному множе-
ству индексов
:
,
j
j
j
j
j
J y j x I b f x y
.
Утверждение 1.
Функции указанного вида и только они являют-
ся автоморфизмами объекта Ω
u
. Изоморфизмы объекта Ω
u
характе-
ризуются тем, что у них всякое множество
J y
одноэлементное.
Утверждение 2.
В подкатегории Ω
d
дискретных распределений
всякий мономорфизм является изоморфизмом. Объекты Ω
d
попарно
изоморфны тогда и только тогда, когда у них совпадают вероятност-
ные ряды
2
1
, ,...
p p
распределений. Автоморфизмы любого дискрет-
ного объекта образуют группу.
Теорема 3.
В
Ω
всякий мономорфизм является изоморфизмом.
Доказательство.
Для дискретных распределений теорема являет-
ся следствием утверждения 2. Покажем, что всякий мономорфизм
Ω Ω
n
n
u
u
является изоморфизмом. Тогда теорема Лебега и замеча-
ние 1 позволят сделать заключение о том, что это верно для всех
морфизмов (см. далее замечание 2).
При
1
n
доказательство проводится геометрическим методом
на основе утверждения 1. Все автоморфизмы объекта Ω
n
u
являются
суперпозициями движений (когда сохраняются расстояния) частей
куба
n
I
и растягивающих накрытий этих частей. Поскольку всякое
растяжение можно свести к последовательности растяжений вдоль
единственной координаты, то общий случай сводится к
1
n
.
