Перколяция в конечной полосе для непрерывных гиббсовских полей
5
где
1
( ) 1
g
, если
g R
, и
1
( ) 0
g
, если
g R
.
Для формулировки вспомогательной леммы введем величины
2
( )
( )
( )
V g
g e
g
,
1
( , )
,
,
ˆ
V g h
g h
g h
e
, а также
,
( , )
z
T
, определяемые
рекуррентной системой уравнений
1
( ( ))
,
( ),
,
,
1
1
1
ˆ
( , )
[ ( , )
( ( ), ) (
, \ )];
n
z
g z
g
z
T
z
T
K
T
1
( )
,
,
1 ,
1
1
( , )
[ ( , )
( , ) ( , \ )]
n g
z
z
z
T g z T
K g T
,
(6)
где
,
( , ) 1
z
T
,
,
( , ) 0
z
T
при
.
В системе уравнений (6)
( )
— выделенный фиксированный
контур в
1
{ ,..., }
k
g g
,
\ ( )
;
1
1 1
,
1
ˆ
( , )
(
1)
g g
g
K g
,
( , ) 1
K g
.
Лемма 1
(основная). При достаточно малых
,
z
таких, что
3 1 2
1
ˆ
(
) 1
B
n
n
e e R z
, ˆ max{ , },
R
R D
(7)
и ограничениях 1–4
ln ( , , , )
( )
( ) ( )
z
g
z
g d
,
где
1
0
( )
(
( ) ( , \ )) .
z
z
t
g
t
n g T g g dt
Из леммы 1 и формулы (5) сразу вытекает следующая теорема.
Теорема 1
. При достаточно малых
z
, удовлетворяющих соотно-
шению (7), вероятность непротекания
2
( )
0
1
( , , , ) exp{ ( )
[
( ) 1] ( )}
V g
z
g
g
H S h z
e
g d
.
Из теоремы 1 ясно, что при достаточно малых
( )
z z
можно
0
( , , , )
H S h z
представить в виде
1
0
0
1
( , , , ) exp{ ( , , )
( , , )
...}
n
n
H S h z
a S h z a S h z
.
(8)
Пользуясь представлением (8), легко вывести следующую теорему.
