Перколяция в конечной полосе для непрерывных гиббсовских полей
11
Для каждой пары
Λ
,
Γ
рассмотрим лес (неориентированный
граф, связными компонентами которого являются деревья) с множе-
ством вершин
, причем такой, что каждое дерево содержит од-
ну и только одну вершину из множества
(иногда дерево может со-
стоять лишь из этой вершины). Совокупность всех таких лесов обо-
значим через
,
S
. Для каждого леса
,
S
обозначим через
( )
E
множество его ребер. Сопоставим каждому
,
S
величину
( )
G
,
которую назовем вкладом графа
,
1 2
( ) ( )
1
1 1 2
( , ) ( )
( )
( , ).
N N
g g E
G h
g g
Лемма 5.
Решение
1 1
,
( , )
h
Q
при
уравнения (15) имеет вид
1 1
,
,
( , )
( )
h
S
Q
G
.
Доказательство леммы 5 аналогично доказательству леммы 2 в [7].
Лемма 6.
Пусть
( ) 1
g
. Тогда
1 1
( )
,
1
2 1 2
1
0
1
( , )
( ) ( )
( )... ( )
ˆ
{ [ (
) ] }.
N
h
p
g
s
B
n s
s
n
Q
g d
h n g n g
e e e R h
Доказательство
. Обозначим через
( )
F s
число деревьев с
( 1)
s
-й
вершиной. Поскольку
( ) 0
U x
при
x R
, следовательно,
1 1 2
( , ) 0
g g
, если
1 2
ˆ
( , )
g g R
.
Построим на
граф
,
S
из синих ребер ( , )
i
j
g g
. Из графа
построим граф на множестве точек
i
x
. Рассмотрим произ-
вольное синее ребро
1 2
( , )
g g
графа
. Проведем зеленое ребро ( , )
i
j
x x
,
1
i
x g
,
2
j
x g
, если
ˆ
( , )
i
j
x x R
. Оранжевые ребра проведем в
g
, если дефекты
i
x
и
j
x
связны,
i
x g
,
j
x g
. Получили
граф из разноцветных ребер. Сотрем все зеленые ребра, которые соеди-
няют ( , )
i
j
g g
, кроме одного для каждого синего ребра. После этого
сотрем оранжевые ребра на
i
g
так, чтобы оставшиеся ребра образо-
вывали на
i
g
дерево, вершина которого — в оставшейся зеленой точке
