Перколяция в конечной полосе для непрерывных гиббсовских полей
3
Для получения содержательных результатов, а также и для того
чтобы за общностью построений не потерять идею решения, введем
следующие ограничения на рассматриваемый потенциал и плотность
распределения формы дефектов:
1)
трансляционная инвариантность
1 2
1 2
( , )
(
)
U x x U x x
, где
( )
U x
,
x R
,
0
x
— четная функция на
\ {0}
R
;
2)
1
( )
2
n
i
i
U x
B
, из чего следует условие устойчивости. При-
меры таких потенциалов приведены в [8];
3)
( ) 0
U x
при
x R
, т. е. потенциал финитный;
4)
( ) 0
x x
, если diam{ }
x
D
.
Будем также считать, что и дефекты, и потенциал удовлетворяют
условиям, при которых имеют смысл написанные в настоящей работе
формулы.
Пример 1
. Дефекты имеют шаровую (эллипсоидную) форму с
фиксированным радиусом
0
/ 2
r r
(соответственно с фиксирован-
ными полуосями
a
и
b
), и выполняется равенство
( )
( )
1
Λ, ,β
( )
(Λ, , β)
N c
H c
z
P c z e
z
относительно меры
dc
:
1
( )
...
!
k
N c k
dx dx
dc
k
,
где
dx
— обычная мера Лебега.
Пример
2
.
( ) 0
c
H
, т. е. поле является пуассоновским с парамет-
ром
z
. В этом случае
ˆ( )
1
,
ˆ( )
( , )
N c
z
P c z
z
относительно меры
ˆ
dc
:
1
1
ˆ( )
...
ˆ
...
!
k
k
N c k
x
x
dx dx
dc
d d
k
.
В общем случае можно записать
ˆ
ˆ
( )
( )
1
, ,
ˆ( )
( , , )
N c
H c
z
P c z e
z
(2)
относительно меры
ˆ
dc
.
Прежде чем сформулировать результаты, введем необходимые
определения.
