Перколяция в конечной полосе для непрерывных гиббсовских полей
13
Для сходимости ряда необходимо, чтобы выполнялось неравенство
(2 1)
2
1
1
ˆ
(
) 1
B
n
n
e e
R h
.
(17)
Нетрудно подобрать такое малое
1
h
, чтобы выполнялось соотно-
шение (17).
Перейдем теперь непосредственно к доказательству леммы 1. За-
пишем статистическую сумму
( )
,
,
ˆ
( , , , , )
[
( )]
( )
n g
g h
g
g h
S h z
z
g
d
.
(18)
Из (18)
,1
, ,
ln ( , , , )
( ) ( ) ( )
z
d
z
n g r g d g
dz
.
Интегрируя по
z
и подставляя выражение для
, ,
( )
z
r g
из форму-
лы (11), получаем
1
0
ln ( , , , )
( ) ( ) ( , )
( ) ( ) ( )
z
t
f
z
t n g g T g
f d d g dt
.
Воспользовавшись леммой 3, нетрудно заметить, что
,
ln ( , , , )
( )
( ) ( )
z
g
z
g d
,
где
1
,
ˆ
0
ˆ
( )
(
( ) ( , \ ))
z
z
t
g
t
n g T g g dt
.
Лемма 1 доказана.
Пример 3
. Пусть
L h
, где
L
— окружность;
2 ( 1)
h b n
;
( ) 0
H c
. Дефекты с центром в
0 0
( , )
x y
имеют вид эллипса:
2
2
0
0
2
2
(
) (
) 1.
x x
y y
a
b
Для определенности будем считать, что
a b
,
2
b
. В работах
[2, 3] рассмотрен случай
2 2
r a b
. Численные методы расчета ана-
логичных примеров приведены в [10, 11]. Вычислим первый коэффи-
циент
0
( , , , )
a L h a b
в формуле (8).
Рассмотрим в объеме
контур протекания из
n
точек с координа-
тами
1 1
( , ), ..., ( , )
n n
x y
x y
. Из того, что это — контур протекания, следует:
