1
УДК 519.248
Перколяция в конечной полосе для непрерывных
гиббсовских полей
© П.В. Храпов
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
Решена задача о перколяции случайного поля в конечной полосе для непрерывных
гиббсовских полей. Центры дефектов задаются гиббсовским точечным полем с
некоторым потенциалом (относительно стандартной пуассоновской меры с па-
раметром интенсивности
z
в конечном объеме). На множестве форм дефектов
(с центром в точках гиббсовского поля) задано распределение вероятностей. Рас-
пределение вероятностей на множестве дефектов такое, что порождаемое им
распределение на точечных конфигурациях центров дефектов совпадает с гибб-
совским распределением, а условные распределения для форм дефектов независи-
мы при условии, что конфигурация центров дефектов фиксирована. Протекание
означает, что в конфигурации дефектов нашелся связный контур из дефектов,
соединяющий верхнее и нижнее основания цилиндра. Для достаточно малых пара-
метров интенсивности пуассоновской меры в работе исследованы вероятность
того, что конфигурация не допускает протекания, а также асимптотика веро-
ятностей наличия в конфигурации
l
контуров протекания при некоторых соот-
ношениях между
S
и
z
. Доказана предельная теорема пуассоновского типа. По-
казано, что при некоторых условиях мультипликативного характера
,
налагаемых
на форму цилиндра и параметр интенсивности
,
z
распределение вероятностей
количества дефектных контуров сходится к пуассоновскому распределению.
Ключевые слова:
перколяция, гиббсовское поле, дефект, контур протекания, пре-
дельные теоремы пуассоновского типа.
Обозначим через
C
совокупность конечных подмножеств точек
1
{ }
k
i i
C x
,
i
x
,
1, ..., ,
i
k
0
k
области
. В пространстве
C
естественно вводится топология, борелевская
-
алгебра и стан-
дартная мера
0
(пуассоновская мера в конечном объеме), определя-
емая параметром
.
z
Пусть
— гиббсовская мера в пространстве
C
, определяемая плотностью
1
0
exp{ ( )}
d Z
H c
d
,
(1)
где
,
,
( )
( , )
x y c x y
H c
U x y
;
0
exp{ ( )}
C
Z
H c d
.
