П.В. Храпов
2
Рассмотрим некоторое конечно-параметрическое семейство
0
{ ( ),
,
( )}
S
y y D O y
ограниченных областей, где параметр
y
пробегает некоторую область
m
D
и
( )
y
гладко зависит от
.
y
Возьмем
{ ( ) ,
}
x
S
y x y D
в качестве пространства дефектов с
центром в точке
x
.
Предположим, что на
x
S
или, что одно и то же, на множестве пара-
метров
D
, задано распределение вероятностей
. Определим маркиро-
ванное точечное поле, т. е. вероятностную меру на совокупности мар-
кированных подмножеств ˆ{ }
D
c C
, где
ˆ { ( ),
,
}
x
c
y x c y D
—
функция на
,
c
отображающая каждую точку
x c
на соответствую-
щую область
x
S
. Распределение вероятностей на множестве
ˆ{ }
c
та-
кое, что порождаемое им распределение на точечных конфигурациях
c
совпадает с гиббсовским распределением (1), а условные распределения
для значений
( )
x
y
,
x c
(при условии, что
c
фиксировано) независи-
мы и каждое имеет распределение
. Например, пусть
( )
y
— шар ра-
диусом
y
с центром в нуле,
/ 2
y D
. Тогда
а)
2 ( )
d y
dy
D
, если
/ 2
y D
, и нуль, если
/ 2
y D
;
б)
( ) (
/ 2)
d y
y D dy
,
dy
— мера Лебега.
Будем считать, что подмножество
ˆ ˆ
g c
конфигурации
ˆ
c
,
1
1
ˆ
ˆ
{( , ), ..., ( ,
)} ,
n
x
n x
g x
x
c
является контуром, если набор дефектов
{ }
i
x
из
ˆ
g
является связным. Протекание означает, что в конфигурации
ˆ
c
нашелся контур, соединяющий верхнее и нижнее основания цилин-
дра
ν
S h
,
ν 1
S
,
h
. Такие контуры назовем контурами
протекания. Множество контуров протекания в
D
C
обозначим через
R
,
а число контуров протекания в конфигурации
ˆ
c
через
ˆ( )
c
.
В работе для достаточно малых
( )
z z
исследуется вероят-
ность
0
( , , , )
H S h z
того, что конфигурация не допускает протека-
ния (кратко — вероятность непротекания), а также асимптотика
вероятностей
ˆ ˆ
( , , , ) Pr{ : ( ) }
l
H S h z
c c l
при некоторых соотно-
шениях между
S
и
.
z
Необходимость в исследовании задач такого
типа обоснована в [1]. Случай, когда
( ) 0
H c
и дефекты представ-
ляют собой шары фиксированного радиуса, подробно рассмотрен в
работе [2], обобщение проведено в [3], решеточные модели описа-
ны в [4], математический аппарат кластерных разложений приве-
ден в [5–7].
