М.А. Басараб
6
висящие от геометрии области
и участков ее границы
i
. Струк-
тура решения осуществляет так называемое продолжение граничных
условий внутрь области.
Неопределенная компонента структуры (5) представляется в виде
ряда
1
N
n n
n
c g
,
(7)
где
( , )
n
g x y
— элементы полной системы координатных функций
(алгебраические или тригонометрические полиномы, сплайны и др.),
а
c
n
— неопределенные коэффициенты, которые находятся, напри-
мер, методом Галеркина [5], после подстановки структуры (6) в ле-
вую часть (4).
Краевое условие 1-го рода (
L
— тождественный оператор) (5)
u
точно удовлетворяется структурой Дирихле
u
.
Несколько сложнее обстоит дело с краевыми условиями диффе-
ренциального типа и смешанными условиями на разных участках
границы. Для начала следует определить понятие нормализованного
уравнения. Уравнение области
0
n
называется нормализованным,
если
|
0,
1
n
n
n
. (8)
Например, в качестве нормализованного уравнения прямой мо-
жет быть взято ее известное нормальное уравнение
cos
sin
0,
x
y
p
где
p
— полярное расстояние;
— полярный угол.
На практике нормализация уравнений для широкого класса обла-
стей выполняется с учетом того, что
функция
( , )
x y
, образованная
из нормализованных функций
( , )
i
x y
с помощью
R
-операций (3),
будет также нормализована в регулярных точках границы.
Используя этот факт, нормализованные уравнения границ неко-
торых простейших геометрических объектов в
R
2
(табл. 1), а также
преобразования переноса и поворота координат можно автоматиче-
ски получать нормализованные в регулярных точках границы урав-
нения более сложных областей. Так, нормализованное уравнение
прямоугольной области с длинами сторон 2
a
и 2
b
имеет вид
