Решение стационарных двумерных задач естественной конвекции…
5
вестной вещественной функции, обращающейся в нуль на границе
области, и неизвестной функции, позволяющей удовлетворить (точно
либо приближенно) дифференциальному уравнению [16]. До появле-
ния работ В.Л. Рвачева [7] эта идея имела ограниченное применение,
поскольку не было универсального подхода к конструированию по-
добных функций для произвольных областей, а также не было ответа
на вопрос, как удовлетворить дифференциальным и смешанным кра-
евым условиям.
Функция
( , )
z f x y
называется
R
-функцией, если ее знак вполне
определяется знаками (но не абсолютными значениями) ее аргумен-
тов. Наиболее популярна следующая система
R
-функций:
2
2
2
2
,
,
.
x y x y x y x y x y x y x x
(3)
Эти
R
-функции соответствуют логическим операциям конъюнк-
ции, дизъюнкции и отрицания, что позволяет строить в неявной фор-
ме уравнения границ сложных геометрических объектов.
Пусть область
1
( ,...,
)
n
F
образована путем теоретико-
множественной комбинации (объединение и пересечение) простых
областей
i
, каждая из которых аналитически определяется неравен-
ством
( , ) 0
i
x y
. Если
f
есть
R
-функция, соответствующая булевой
функции
F
, то функция, в неявной форме описывающая сложную об-
ласть, получается как
1
( ,..., ) 0
n
f
. При этом
1
( ,..., ) 0
n
f
за пределами
, а уравнение
1
( ,..., ) 0
n
f
определяет границу
области
.
Краевые задачи и структуры их решения.
Найдем решение опе-
раторного уравнения
Au f
(4)
внутри ограниченной области
R
2
при заданных краевых условиях
|
Lu
(5)
на границе
.
Общая структура решения краевой задачи определяется выраже-
нием
( , , )
( , , )
L
i
L
i
u B
S
, (6)
точно удовлетворяющим граничным условиям независимо от выбора
неопределенной компоненты
( , )
x y
. Здесь
B
L
,
S
L
— операторы, за-
