М.А. Басараб
2
ход по-прежнему характеризуется необходимостью выбора относи-
тельно большого числа базисных функций, а также нахождения их
параметров (тип RBF, центр и ширина каждой RBF).
Еще одной проблемой всех указанных методов является слож-
ность аппроксимации краевых условий, заданных на границе слож-
ной области. Для вихревой функции краевые условия вообще не за-
даны в явном виде и приходится использовать специальные подходы
(например, условия Тома или Вудса [1]) для их постановки.
Рассматривается альтернативный подход к развитию бессеточ-
ных методов, основанный на разработанном В.Л. Рвачевым методе
R-
функций, или RFM (
англ. R-
Functions Method) [7-9].
R-
функции
представляют собой функции вещественного переменного, облада-
ющие свойствами непрерывных аналогов функций булевой алгебры.
С их помощью можно конструировать функции по заданным значе-
ниям и значениям их производных на произвольных многообразиях.
Более того, такие функции могут обладать требуемыми дифференци-
альными свойствами и могут встраиваться в структуры решения кра-
евых задач, гарантируя тем самым автоматическое удовлетворение
решения заданным граничным условиям. Несмотря на то что ранее
RFM использовался при решении задач теплопроводности [7–9], а
также ряда задач гидродинамики [10–12], классические задачи есте-
ственной конвекции жидкости или газа в замкнутых полостях до сих
пор не рассматривались. В данной работе впервые предлагается уни-
версальный подход к решению системы безразмерных уравнений
конвекции-диффузии в терминах функций температуры, вихря и тока
на основе RFM и метода Петрова — Галеркина (Petrov — Galerkin —
Rvachev Method, PGRM). Предложенный подход проиллюстрирован
на тестовых примерах конвекции в прямоугольной полости с различ-
ными краевыми условиями [13–14], а также на более сложной задаче
прямоугольной полости с внутренним источником постоянной тем-
пературы [15]. Показано, что с помощью подходящего выбора базис-
ных функций можно не только точно удовлетворить всем краевым
условиям задачи для функций температуры, вихря и тока, но и избе-
жать решения уравнения для функции тока, что существенно упро-
щает схему решения системы уравнений свободной конвекции.
Математическая постановка задачи.
Рассмотрим модель есте-
ственной конвекции на основе приближения по Буссинеску, согласно
которому эффекты вязкого и компрессионного нагрева не учитыва-
ются и все газовые постоянные, кроме плотности, считаются не зави-
сящими от температуры. В безразмерном виде двумерная стационар-
ная математическая модель свободной конвекции внутри замкнутой
полости
имеет вид [4]
