М.А. Басараб
4
На границе области
заданы краевые условия:
1
2
1
2
|
( , ),
( , );
0,
X Y
X Y
U V
n
n
(2)
где
1 2
,
— известные функции, определенные на участках границы
1
2
,
соответственно (
1
2
,
1
2
);
n
— век-
тор внешней нормали к
. Для вихревой функции
краевые усло-
вия обычно аппроксимируются путем разложения функции тока в
ряд Тейлора в окрестности границы
[1,4].
Распространенной методикой решения системы (1) является сле-
дующая рекуррентная схема:
1)
c использованием текущих значений
( )
( )
( )
,
,
k
k
k
U V
(начальные
приближения на первом шаге времени
0
k
) решается первое урав-
нение системы (1) и находится
( 1)
k
;
2)
c использованием прежних значений
( )
( )
( )
,
,
k
k
k
U V
и обнов-
ленных значений
( 1)
k
решается второе уравнение системы (1) с це-
лью нахождения
( 1)
k
;
3)
c использованием обновленных значений
( 1)
k
решается тре-
тье уравнение системы (1) относительно
( 1)
k
и обновляются значе-
ния
( 1)
( 1)
,
k
k
U V
; после этого, в зависимости от выполнения условий
сходимости итераций, осуществляется переход на поз. 1 либо про-
цесс вычислений прекращается.
Если в качестве начального приближения положить
(0)
(0)
(0)
(0)
0
U V
, то на первом шаге получим решение задачи стацио-
нарного теплопереноса при отсутствии конвекции.
Критерием остановки итераций может, например, являться одно-
временное выполнение условий
( 1)
( )
( 1)
( )
( )
( )
( , )
( , )
( 1)
( )
( )
( , )
|
|
|
|
max
,
max
,
|
|
|
|
|
|
max
.
|
|
k
k
k
k
k
k
X Y
X Y
k
k
k
X Y
Метод
R
-функций и решение краевых задач.
Основные поня-
тия теории R-функций.
Основная идея метода
R
-функций иллюстри-
руется на примере однородных краевых условий 1-го рода (Дирихле).
Эти условия могут быть удовлетворены точно, если искомое решение
краевой задачи представить в виде произведения двух функций: из-
