И.В. Станкевич
объемного конечного элемента
( )
, зависящее от типа элемента (см.
рис. 2)).
Аналогично при интегрировании поверхностных элементов имеем
( )
=
[︁
( )
]︁ [︁
( )
]︁
{ }
,
(10)
где
[︁
( )
]︁
=
[︁
( )
1
( )
2
. . .
( )
( )
]︁
— матрица-строка функций
формы конечного элемента
( )
, (
( )
— число узлов поверхностного
конечного элемента
( )
);
[︁
( )
]︁
— матрица геометрических связей по-
верхностного конечного элемента
( )
.
Как показывает практика численных исследований, число по-
верхностных конечных элементов существенно меньше числа объ-
емных элементов. Если интегрирование ведется по боковой поверхно-
сти, то
[︁
( )
]︁
=
[︁
( )
]︁
. Различие возникает при интегрировании по
торцевым поверхностям стержневой системы, при этом каждая торце-
вая поверхность рассматривается как самостоятельный поверхност-
ный конечный элемент. В этом случае
[︁
( )
]︁
= [1]
1
×
1
= 1
и
( )
= 1
.
Теперь, если в выражение (6) для
F
( )
ℎ
подставить соотношения (8)
и (9), получим
F
( )
ℎ
=
∫︁
( )
1
2
(︁
{ }
т
[︁
( )
]︁
т
[︀
( )
]︀
т
[︀
( )
]︀[︀
( )
]︀
−
2
( )
[︁
( )
]︁)︁[︁
( )
]︁
{ }
,
(11)
где
[︀
( )
]︀
— матрица размерности
1
×
1
имеет вид
[︀
( )
]︀
=
[︀
l
( )
]︀
(
l
( )
— коэффициент теплопроводности материала конечного элемента
( )
).
Аналогично при подстановке в выражение (7) соотношения (10)
находим
F
( )
ℎ
=
⎧⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎩
∫︁
( )
2
( )
[︁
( )
]︁ [︁
( )
]︁
{ }
,
( )
2
⊂
ℎ
2
;
∫︁
( )
3
a
( )
(︂
1
2
[︁
( )
]︁ [︁
( )
]︁
{ } −
( )
)︂ (︁[︁
( )
]︁ [︁
( )
]︁
{ }
)︁
,
( )
3
⊂
ℎ
3
.
(12)
Минимизируя функционал (5), получаем уравнение
dF
ℎ
=
d
{ }
т
{ }
(︃ ∑︁
=1
F
( )
ℎ
+
∑︁
=1
F
( )
ℎ
)︃
= 0
,
6
