Математическое моделирование температурного состояния пространственных. . .
В дальнейшем выражение (4) примем за основное и, по мере пост-
роения рабочих соотношений, будем делать необходимые обобщения.
Матричные соотношения МКЭ.
Аппроксимируем ограниченную
замкнутую область
¯
⊂
R
3
, в которой решается задача (1)–(3), огра-
ниченной замкнутой областью
¯
ℎ
⊂
R
3
, состоящей из объединения
конечных элементов
¯
( )
, т. е.
¯
ℎ
=
⋃︀
=1
¯
( )
, где
( )
– идентифика-
ционная метка конечного элемента. Другими словами, аппроксимиру-
ем рассматриваемую стержневую систему совокупностью конечных
элементов. Для этого необходимо выбрать тип конечного элемента.
Чтобы аппроксимировать форму стержневой системы, воспользуемся
одномерными конечными элементами (рис. 2).
Рис. 2.
Типы одномерных конечных элементов (1–4 — локальная нумерация узлов)
Достаточно часто распределение температуры вдоль осевых линий
стержней аппроксимируют с помощью тех же конечных элементов,
как и при аппроксимации их геометрической формы. Совокупность
конечных элементов образует конечно-элементную модель стержне-
вой системы. На рис. 3 представлен пример конечно-элементной мо-
дели стержневой системы. При описании топологии (геометрических
связей) конечно-элементной модели применяют локальную и глобаль-
ную нумерацию узлов. При локальной нумерации узлы нумеруют
только в пределах множества узлов, принадлежащих данному рас-
сматриваемому элементу
( )
, в отличие от глобальной нумерации уз-
лов, при которой нумеруются все узлы конечно-элементной модели,
причем совместные узлы элементов — только один раз. На рис. 2 по-
казана локальная нумерация узлов различных типов конечных элемен-
тов. На рис. 3 приведен пример глобальной нумерации узлов конечно-
элементной модели и локальной нумерации для элемента с номером 7
(номера элементов указаны в круглых скобках). Таким образом, чтобы
задать конечно-элементную модель, необходимо построить две табли-
цы: в одной таблице привести описание геометрических связей между
конечными элементами, т. е. связь глобальных и локальных номеров
узлов для каждого элемента, а в другой — глобальные координаты
узлов в прямоугольной декартовой системе координат
x
1
x
2
x
3
.
В выражение функционала (4) входят два интеграла, предполагаю-
щие интегрирование по торцевым поверхностям
2
,
3
стержня, на ко-
торых заданы условия теплообмена. Формально эти интегралы можно
3
