И.В. Станкевич
( )
(
x
)
по локальной координате
x
, а компонентами вектор-столбца
{︁
( )
}︁
являются глобальные координаты узлов
( )
элемента
( )
.
Таким образом, координаты
h
( )
узлов конечного элемента
( )
в
криволинейной локальной системе координат
′
h
, связанной с осью
конечного элемента
( )
, представляют собой длины дуг от начального
узла
= 1
данного элемента до рассматриваемого узла этого же
элемента, при этом координата начального узла
= 1
для любого
конечного элемента всегда равна нулю:
h
( )
1
= 0
(см. рис. 4).
Интегрирование по объему.
Обозначим интегралы, входящие в
выражения (15) и (16), следующим образом:
[︁
( )
]︁
=
∫︁
( )
[︀
( )
]︀
т
[︀
( )
]︀ [︀
( )
]︀
;
(19)
{︀
( )
}︀
=
∫︁
( )
( )
[︁
( )
]︁
т
.
(20)
Элемент объема запишем в виде
=
( )
(
x
)
h
=
( )
(
x
)
⎯⎸⎸⎷
3
∑︁
=1
(
,
x
)
2
x
,
(21)
где
( )
(
x
)
— площадь поперечного сечения конечного элемента
( )
(см. рис. 4), а производные
,
x
,
= 1
,
3
определяются формулой (18).
Площадь поперечного сечения
( )
(
x
)
можно аппроксимировать
с помощью функций формы
( )
(
x
) =
[︁
( )
]︁ {︀
( )
}︀
.
(22)
Здесь
{︀
( )
}︀
– вектор, составленный из площадей поперечных сече-
ний
( )
,
= 1
,
( )
, отнесенных к узлам элемента
( )
(см. рис. 4).
Матрица градиентов имеет вид
[︀
( )
]︀
=
[︁
( )
1
,
h
. . .
( )
( )
,
h
]︁
.
(23)
Для вычисления производных
( )
,
h
=
( )
h
необходимо использовать соотношение
( )
x
=
( )
h
h
x
,
(24)
отсюда
( )
,
h
=
( )
h
=
1
h
x
( )
x
=
(︂
h
x
)︂
−
1 ( )
x
.
(25)
10
