Математическое моделирование температурного состояния пространственных. . .
Функционал
F
ℎ
в силу свойства аддитивности можно представить
в виде
F
ℎ
=
∑︁
=1
F
( )
ℎ
+
∑︁
=1
F
( )
ℎ
,
где
F
( )
ℎ
=
∫︁
( )
1
2
[︁
l
( )
(︀
( )
,
h
)︀
−
2
( ) ( )
]︁
,
( )
⊂
ℎ
;
(6)
F
( )
ℎ
=
⎧⎪⎨ ⎪⎩
∫︀
( )
( ) ( )
,
( )
⊂
ℎ
2
;
∫︀
( )
a
( )
(︁
1
2
( )
−
( )
)︁
( )
,
( )
⊂
ℎ
3
.
(7)
Здесь ,
— число объемных и поверхностных элементов в конечно-
элементной модели соответственно.
Таким образом, заданная пространственная стержневая конструк-
ция аппроксимируется конечно-элементной моделью, состоящей из
конечных элементов двух видов — объемных и поверхностных. По-
верхностные конечные элементы позволяют учесть граничные усло-
вия 2-го и 3-го рода. Особенности учета граничных условий 1-го рода
рассмотрены ниже.
Функции
( )
и их производные
( )
,
h
, в формулах (6) и (7), можно
выразить через глобальный вектор узловых температур
{ }
, компо-
нентами которого являются температуры всех узлов сетки конечно-
элементной модели. Для этого используем основное интерполяцион-
ное соотношение МКЭ [6].
Таким образом, при интегрировании объемных элементов получа-
ем
( )
(
h
) =
[︁
( )
]︁ {︀
( )
}︀
=
[︁
( )
]︁ [︁
( )
]︁
{ }
;
(8)
( )
(
h
)
,
h
=
( )
(
h
)
h
=
[︀
( )
]︀ {︀
( )
}︀
=
[︀
( )
]︀ [︁
( )
]︁
{ }
,
(9)
где
[︁
( )
]︁
=
[︁
( )
1
( )
2
. . .
( )
( )
]︁
— матрица-строка функций
формы конечного элемента
( )
;
[︁
( )
]︁
— матрица геометрических связей
объемного конечного элемента
( )
;
{︀
( )
}︀
=
[︁
( )
1
( )
2
. . .
( )
( )
]︁
т
—
матрица-столбец (локальная) значений температуры в узлах конеч-
ного элемента
( )
;
{ }
=
[︀
1 2
. . .
]︀
т
— матрица-столбец
(глобальная) значений температуры в узлах конечно-элементной мо-
дели;
[︀
( )
]︀
=
[︁
( )
1
,
h
( )
2
,
h
. . .
( )
( )
,
h
]︁
— матрица градиентов
объемного конечного элемента
( )
, компонентами которой являются
производные функций формы
( )
,
h
,
= 1
,
( )
(
( )
— число узлов
5
