Математическое моделирование температурного состояния пространственных. . .
Производная
h
/
x
в данном случае является одномерным анало-
гом матрицы Якоби преобразования координат. Для вычисления
h
/
x
используется соотношение, которое по конструкции аналогично выра-
жению (19), имеем
h
x
=
( )
1
(
x
)
x
h
( )
1
+
. . .
+
( )
( )
(
x
)
x
h
( )
( )
=
=
[︁
( )
1
,
x
. . .
( )
( )
,
x
]︁ ⎧⎪⎨ ⎪⎩
h
( )
1
...
h
( )
( )
⎫⎪⎬ ⎪⎭
=
[︀
( )
]︀ {︀
h
( )
}︀
.
(26)
Здесь
h
( )
,
= 1
,
( )
,
( )
= 2
,
4
— координаты узлов конечного эле-
мента
( )
в локальной одномерной криволинейной системе координат
′
h
; — локальный номер узла конечного элемента;
( )
— число уз-
лов конечного элемента. Компонентами вектор-столбца
{︀
h
( )
}︀
явля-
ются координаты узлов
h
( )
.
Матрица
[︀
( )
]︀
, состоящая в общем случае из компонент тензора
теплопроводности, в данном случае является скаляром:
[︀
( )
]︀
=
[︀
l
( )
]︀
1
×
1
=
l
( )
.
(27)
Используя аппарат функций формы, коэффициент теплопроводности
l
( )
и мощность внутренних источников , входящих в выражения
(19) и (20), можно представить в нормированной локальной системе
координат
′′
x
, связанной с рассматриваемым конечным элементом
(см. рис. 3 и 4), следующим образом:
l
( )
(
x
) =
[︁
( )
]︁ {︀
l
( )
}︀
;
(28)
( )
(
x
) =
[︁
( )
]︁ {︁
( )
}︁
,
(29)
где
{︀
l
( )
}︀
— вектор, составленный из значений коэффициента тепло-
проводности
l
( )
,
= 1
,
( )
, отнесенных к узлам конечного элемента
( )
;
{︁
( )
}︁
— вектор, составленный из значений мощности внутрен-
них источников
( )
,
= 1
,
( )
, взятых в узлах конечного элемен-
та
( )
. Здесь координата
x
определяет точку, принадлежащую образу
конечного элемента в нормированной локальной системе координат
′′
x
(см. рис. 4).
Таким образом, с учетом выражений (21) – (29), имеем
[︁
( )
]︁
=
∑︁
=1
⎡ ⎣
l
( )
(
x
)
( )
(
x
)
[︀
( )
]︀
т
[︀
( )
]︀ ⎯⎸⎸⎷
3
∑︁
=1
(
,
x
)
2
⎤ ⎦ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒
x
=
x
,
11
