Точные решения и нелинейная неустойчивость реакционно-диффузионных систем. . .
Система 1.
Рассмотрим нелинейную систему уравнений с запаз-
дыванием
=
1
+
(︁
¯
,
¯
)︁
,
=
2
+
(︁
¯
,
¯
)︁
,
(27)
в которую входят две произвольные функции двух аргументов.
1.1. Система (27) допускает четыре точных решения с разделяю-
щимися переменными:
=[
1
cos(
a
)+
2
sin(
a
)]
3
( )
,
=[
1
cos(
b
)+
2
sin(
b
)]
y
( );
=[
1
−
a
+
2
a
]
3
( )
,
=[
1
−
b
+
2
b
]
y
( );
=[
1
cos(
a
)+
2
sin(
a
)]
3
( )
,
=[
1
−
b
+
2
b
]
y
( );
=[
1
−
a
+
2
a
]
3
( )
,
=[
1
cos(
b
)+
2
sin(
b
)]
y
( )
,
(28)
где
1
,
2
,
1
,
2
,
a
,
b
— произвольные постоянные, а функции
3
( )
и
y
( )
описываются соответствующей системой нелинейных
дифференциально-разностных уравнений. Для иллюстрации приве-
дем только систему, соответствующую первому решению (28):
3
′
( ) =
−
1
a
2
3
( ) +
3
( )
(︂
3
(
−
t
)
3
( )
,
y
(
−
t
)
y
( )
)︂
,
y
′
( ) =
−
2
b
2
y
( ) +
y
( )
(︂
3
(
−
t
)
3
( )
,
y
(
−
t
)
y
( )
)︂
.
Замечание 6.
Решения вида (28) допускает более общая система
(27), у которой функции и дополнительно явно зависят также от
третьего аргумента .
Замечание 7.
Решения вида (28) допускает более общая система
(27) с двумя различными запаздываниями, которые могут зависеть от
времени:
= (
,
)
,
¯ = (
,
−
t
1
)
,
= (
,
)
,
¯ = (
,
−
t
2
)
,
t
1
=
t
1
( )
,
t
2
=
t
2
( )
.
1.2. Нелинейная система с запаздыванием (27) допускает также
решение в виде произведения бегущих волн
= exp(
a
1
+
b
1
)
3
( )
,
= exp(
a
2
+
b
2
)
y
( )
,
=
l
+
g
,
(29)
где
a
1
,
a
2
,
b
1
,
b
2
,
g
,
l
— произвольные постоянные, а функции
3
( )
и
y
( )
описываются соответствующей системой нелинейных
дифференциально-разностных уравнений.
9
