А.Д. Полянин
Воспользуемся теоремой 1 для получения условий неустойчиво-
сти реакционно-диффузионной системы (1)–(2). Для этого рассмотрим
стационарное пространственно-периодическое решение задачи (7)
=
e
sin(
s
+
m
)
,
s
=
√︂
−
1
,
>
,
(8)
где
e
и
m
— произвольные постоянные.
Из анализа формул (6) и (8) следует, что при выполнении условий
>
1
,
t
−
ln
>
0
(9)
(второе условие эквивалентно неравенству
>
) любое решение си-
стемы (1)–(2) будет неустойчивым.
Условия (9) удобно представить в более наглядном виде:
>
1
,
>
0
,
t
>
t
0
,
t
0
=
ln
.
(10)
Физический смысл условий (10) состоит в том, что в области пара-
метров
>
1
,
>
0
неустойчивость возникает за счет запаздывания,
которое должно быть достаточно большим:
t
>
t
0
. Поскольку вид
кинетических функций и не влияет на условия неустойчивости
(10) реакционно-диффузионной системы (1)–(2), будем называть эти
условия
глобальными условиями неустойчивости
.
Замечание 4
. Хотя мы получили глобальные условия неустойчи-
вости (10) решений нелинейной системы (1)–(2) во всей области изме-
нения пространственной переменной
−∞
< <
+
∞
, они остаются
справедливыми также для ограниченных решений соответствующих
нелинейных нестационарных краевых задач с граничными условиями
первого, второго и третьего рода в полуплоскости
0
6
<
∞
(или
−∞
<
6
0
). Для доказательства этого в частном решении (8) пара-
метр
m
выбирается так, чтобы удовлетворить соответствующему одно-
родному граничному условию. В частности, для граничных условий
первого и второго рода в решении (8) надо положить
m
= 0
и
m
=
p
/
2
соответственно.
Замечание 5
. Важно подчеркнуть, что здесь речь идет о нелиней-
ной неустойчивости, причем все полученные выше результаты явля-
ются точными (а не линеаризованными, как в теории линейной устой-
чивости; не использованы также различные допущения, разложения
и аппроксимации, характерные для большинства нелинейных теорий).
3. Точные решения нелинейной системы (1)–(2) при
>
0
.
Для
построения точных решений системы (1)–(2) при
>
0
используем
формулу (6) и уравнение (7), которые фигурируют в формулировке
теоремы 1.
4
