А.Д. Полянин
Теорема 3.
Пусть
0
=
0
(
,
)
,
0
=
0
(
,
)
,
= 1
,
2
, . . . , ,
(23)
— произвольное решение рассматриваемой системы. Тогда система
(22)
при
>
0
имеет также решение
=
0
(
,
) + (
,
)
,
0
=
0
(
,
)
,
=
1
t
ln
,
>
0
,
(24)
где
= (
,
)
— любое
t
-периодическое решение линейного уравнения
теплопроводности с источником
(7).
Следствие теоремы 3 с использованием частного решения (8): при
выполнении условий (10) любое решение системы (22) будет неустой-
чивым (глобальные условия неустойчивости).
Теорема 4.
Пусть
(23) —
произвольное решение реакционно-диф-
фузионной системы с запаздыванием
(22).
Тогда при
<
0
эта си-
стема имеет также решение
=
0
(
,
) + (
,
)
,
0
=
0
(
,
)
,
=
1
t
ln
| |
,
<
0
,
(25)
где
= (
,
)
— любое
t
-апериодическое решение линейного уравне-
ния теплопроводности с источником
(18).
Для построения точных решений системы (22) используются
формулы (24) (при
>
0
) и (25) (при
<
0
), где функция оп-
ределяется по формулам (13)–(15) (при
>
0
) и (19)–(21) (при
<
0
).
Если кинетические функции ,
не зависят явно от и , в качестве
частного решения (23) системы (22) можно взять решение одного из
следующих трех видов:
0
=
3
( )
,
0
=
y
( )
(пространственно-однородное решение)
;
(26а)
0
=
3
( )
,
0
=
y
( )
(стационарное решение)
;
(26б)
0
=
3
( )
,
0
=
y
( )
,
=
a
+
b
(бегущая волна)
.
(26в)
Если кинетические функции ,
зависят явно от (но не зависят
явно от ), в качестве частного решения (23) системы (22) можно взять
решение вида (26а); если кинетические функции ,
зависят явно
от (но не зависят явно от ), то в качестве частного решения (23)
системы (22) можно взять решение вида (26б).
6. Другие реакционно-диффузионные системы уравнений.
Рас-
смотрим некоторые другие нелинейные реакционно-диффузионные
системы уравнений с запаздыванием, допускающие точные решения.
Для краткости будем приводить только системы уравнений и указы-
вать вид точных решений (возникающие при этом системы обыкно-
венных дифференциальных и дифференциально-разностных уравне-
ний, как правило, будут опускаться).
8
