Точные решения и нелинейная неустойчивость реакционно-диффузионных систем. . .
1. Описание метода определения области неустойчивости.
Изложим общую идею используемого ниже метода. Пусть вектор-
функция
u
=
u
(
x
,
)
описывается некоторой нелинейной системой
уравнений в частных производных (которая может быть как с запаз-
дыванием, так и без запаздывания) и
u
0
=
u
0
(
x
,
)
— частное решение
этой системы. Пусть удалось найти точное решение этой системы
в виде суммы
u
=
u
0
(
x
,
) +
v
(
x
, ,
e
)
,
где
v
=
v
(
x
, ,
e
)
— некоторая достаточно гладкая по всем аргументам
функция, ограниченная всюду при конечных и зависящая от пара-
метра
e
, который не входит в рассматриваемую систему уравнений.
Если функция
v
удовлетворяет следующим двум условиям:
|
v
(
x
, ,
e
)
| →
0
при
e
→
0 (0
6 6
t
)
,
|
v
(
x
, ,
e
)
| → ∞
при
→ ∞
,
(4)
решение
u
0
(
x
,
)
является неустойчивым.
Действительно, в силу первого условия (4) и непрерывности функ-
ции
v
по параметру
e
, для любого достаточно малого
d
можно выбрать
такое значение
e
, что сначала (при
0
6 6
t
) выполняется нера-
венство
|
u
−
u
0
|
6
d
,
а при
→ ∞
величина
|
u
−
u
0
|
становится неограниченной. Другими
словами, два решения системы
u
0
и
u
, сколь угодно мало различаю-
щиеся сначала, неограниченно «разбегаются» при больших временах.
2. Область нелинейной неустойчивости системы (1)–(2).
Приме-
ним описанный выше метод для анализа нелинейной неустойчивости
реакционно-диффузионной системы уравнений с запаздыванием (1)–(2).
Теорема 1.
Пусть
0
=
0
(
,
)
,
0
=
0
(
,
)
(5)
— произвольное частное решение рассматриваемой системы. Тогда
система
(1)–(2)
при
>
0
имеет также решение
=
0
(
,
) + (
,
)
,
=
0
(
,
)
,
=
1
t
ln
,
>
0
,
(6)
где
= (
,
)
— любое
t
-периодическое решение линейного уравнения
теплопроводности с источником
=
1
+ (
−
)
,
(
,
) = (
,
−
t
)
.
(7)
Доказательство теоремы проводится подстановкой решения (6)
в систему (1)–(2) с учетом того, что (5) является решением данной
системы, а функция удовлетворяет решению (7).
3
