Точные решения и нелинейная неустойчивость реакционно-диффузионных систем. . .
Общее
t
-апериодическое решение уравнения (18) можно предста-
вить в виде
=
j
2
(
,
;
−
)
,
(19)
где
j
2
(
,
; ) =
∞
∑︁
=1
−
l
[︀
cos(
b
−
g
) + sin(
b
−
g
)
]︀
+
+
∞
∑︁
=1
l
[︀
cos(
b
+
g
) + sin(
b
+
g
)
]︀
,
(20)
b
=
p
(2
−
1)
t
,
l
=
(︂√︀
2
+
b
2
−
2
)︂
1
/
2
,
g
=
(︂√︀
2
+
b
2
+
2
)︂
1
/
2
,
(21)
,
,
,
— произвольные постоянные, для которых ряды в (19)–(21)
и производные
(
j
2
)
и
(
j
2
)
сходятся. Затухающие при
→ ∞
реше-
ния задачи (18) (
t
-апериодические по времени ) определяются форму-
лами (19)–(21) при
= = 0
,
= 1
,
2
, . . .
Формулы (17), (11), (19)–(21) и обыкновенные дифференциально-
разностные уравнения (12) описывают многопараметрические точные
решения широкого класса нелинейных реакционно-диффузионных си-
стем уравнений с запаздыванием вида (1)–(2) при
<
0
, которые пред-
ставляют собой суперпозицию бегущих волн и решений с обобщен-
ным разделением переменных.
5. Многокомпонентные нелинейные системы с запаздыванием.
Рассмотрим многокомпонентную нелинейную систему реакционно-
диффузионных уравнений с запаздыванием следующего вида:
= + + (
, ,
−
¯
,
1
,
¯
1
, . . . ,
,
¯ )
,
( ) = ( ) + (
, ,
−
¯
,
1
,
¯
1
, . . . ,
,
¯ )
,
= 1
,
2
, . . . , ,
(22)
где
= (
,
)
,
¯ = (
,
−
t
)
,
= (
,
)
,
¯ = (
,
−
t
)
;
(
. . .
)
,
(
. . .
)
— произвольные функции своих аргументов;
t
,
t
—
времена запаздывания.
Система (22) обобщает систему (1)–(2) сразу по трем направлениям:
1) число уравнений системы может быть произвольным;
2) кинетические функции ,
дополнительно могут явно зави-
сеть от независимых переменных и ;
3) времена запаздывания могут быть разными (
t
̸
=
t
,
t
̸
=
t
).
Ниже приведены основные результаты для системы (22).
7
