А.Д. Полянин
Список известных точных решений другого вида даже для одного
нелинейного реакционно-диффузионного уравнения
= + (
,
¯)
,
(3)
(частный случай уравнения (2), в котором кинетическая функция
не зависит от первого аргумента) весьма невелик. Полный группо-
вой анализ нелинейного дифференциально-разностного уравнения (3)
выполнен в работе [11]; были найдены четыре уравнения вида (3),
допускающие инвариантные решения, два из них малоинтересны, по-
скольку имеют вырожденные решения (линейные по ).
Вопросам устойчивости (обычно в линейном приближении) ре-
шений типа бегущей волны, стационарных и некоторых других ре-
шений различных реакционно-диффузионных уравнений и систем
с запаздыванием посвящены многочисленные работы, например,
[2, 7–10, 12–21].
Далее термин точные решения нелинейных дифференциально-
разностных уравнений с частными производными (в том числе и си-
стем вида (1)–(2)) применяется в следующих случаях:
1) решение можно выразить через элементарные функции или
представить в замкнутой форме (выражается через неопределенные
или определенные интегралы);
2) решение можно выразить через решения обыкновенных диффе-
ренциальных или обыкновенных дифференциально-разностных урав-
нений (либо систем таких уравнений);
3) решение можно выразить через решения линейных уравнений
в частных производных.
Допустимы также комбинации решений из пп. 1)–3).
Этот термин обобщает определение точных решений, используе-
мое для нелинейных уравнений в частных производных [22, 23].
Замечание 1.
Точные решения уравнения теплопроводности с нели-
нейным источником без запаздывания (при
t
= 0
), которое является
частным случаем уравнения (3) при
(
,
¯) = ( )
, приведены,
например, в работах [22, 24–26]. Наиболее полный обзор точных ре-
шений этого уравнения дан в [23]; там же описано много точных
решений с обобщенным и функциональным разделением перемен-
ных нелинейных систем реакционно-диффузионных уравнений без
запаздывания.
Замечание 2.
Методы решения и различные приложения ли-
нейных и нелинейных обыкновенных дифференциально-разностных
уравнений, которые существенно проще нелинейных дифференциаль-
но-разностных уравнений в частных производных, описаны в [27–30].
Замечание 3.
Численным решениям нелинейных реакционно-
диффузионных систем с запаздыванием и возникающим при этом
трудностям посвящена работа [31].
2
