Точные решения и нелинейная неустойчивость реакционно-диффузионных систем. . .
В общем случае для произвольных кинетических функций
(
z
, ,
¯)
и
(
z
, ,
¯)
в качестве частного решения (5) системы (1)–(2) можно
взять решение одного из следующих трех видов:
0
=
3
( )
,
0
=
y
( )
(пространственно-однородное решение)
;
(11a)
0
=
3
( )
,
0
=
y
( )
(стационарное решение)
;
(11б)
0
=
3
( )
,
0
=
y
( )
,
=
a
+
b
(бегущая волна)
,
(11в)
где
a
и
b
— произвольные постоянные (последнее решение включает в
себя первые два как частные случаи). Решения (11а)–(11в) описывают-
ся системами обыкновенных дифференциальных уравнений с запаз-
дыванием. Например, для решения типа бегущей волны (11в) имеем
систему
b3
′
( ) =
1
a
2
3
′′
( ) +
3
( ) +
(︀
3
( )
−
3
(
−
0
)
,
y
( )
,
y
(
−
0
)
)︀
,
by
′
( ) =
2
a
2
y
′′
( ) +
(︀
3
( )
−
3
(
−
0
)
,
y
( )
,
y
(
−
0
)
)︀
,
0
=
bt
.
(12)
Общее
t
-периодическое решение уравнения (7) можно предста-
вить в виде
=
j
1
(
,
;
−
)
,
(13)
где
j
1
(
,
; ) =
∞
∑︁
=0
−
l
[︀
cos(
b
−
g
) + sin(
b
−
g
)
]︀
+
+
∞
∑︁
=1
l
[︀
cos(
b
+
g
) + sin(
b
+
g
)
]︀
,
(14)
b
=
2
p
t
,
l
=
(︂√︀
2
+
b
2
−
2
1
)︂
1
/
2
,
g
=
(︂√︀
2
+
b
2
+
2
1
)︂
1
/
2
.
(15)
Здесь ,
,
,
— произвольные постоянные, для которых
ряды в формулах (13)–(15) и производные
(
j
1
)
и
(
j
1
)
сходятся
(сходимость, например, заведомо можно обеспечить, если положить
= = = = 0
при
>
, где — произвольное
натуральное число).
Выделим следующие частные случаи:
1)
t
-периодические по времени решения уравнения (7), затухаю-
щие при
→ ∞
, описываются формулами (13)–(15) при
0
=
0
= 0
,
= = 0
,
= 1
,
2
, . . .
;
2)
t
-периодические по времени решения уравнения (7), ограничен-
ные при
→ ∞
, описываются формулами (13)–(15) при
= = 0
,
= 1
,
2
, . . .
;
3) стационарное решение описывается формулами (13)–(15) при
b
0
=
l
0
= 0
,
= = = = 0
,
= 1
,
2
, . . .
5
