А.Д. Полянин
Формулы (6), (11), (13)–(15) и обыкновенные дифференциально-
разностные уравнения (12) описывают многопараметрические точные
решения широкого класса нелинейных реакционно-диффузионных си-
стем уравнений с запаздыванием вида (1)–(2) при
>
0
, которые
представляют собой суперпозицию бегущих волн и решений с обоб-
щенным разделением переменных. В качестве конкретного примера
приведем любопытное точное решение системы (1)–(2), являющееся
следствием формулы (6) и стационарного решения уравнения (7), ко-
гда частное решение (5) выбирается в виде бегущей волны (11в):
=
3
( ) + [ sin(
s
) + cos(
s
)]
,
=
y
( )
,
=
a
+
b
,
=
ln
t
,
s
=
√︂
−
1
,
(16)
где , ,
a
,
b
— произвольные постоянные, а функции
3
( )
и
y
( )
описываются нелинейной системой обыкновенных дифференциально-
разностных уравнений (12). При
= 1
, что соответствует
= 0
, ре-
шение (16) можно трактовать как нелинейную суперпозицию бегущей
волны с периодической стоячей волной.
4. Точные решения нелинейной системы (1)–(2) при
<
0
.
Теорема 2.
Пусть
(5) —
произвольное частное решение реакционно-
диффузионной системы с запаздыванием
(1)–(2)
при
<
0
. Тогда эта
система имеет также решение
=
0
(
,
) + (
,
)
,
=
0
(
,
)
,
=
1
t
ln
| |
,
<
0
,
(17)
где
= (
,
)
— любое
t
-апериодическое решение линейного уравне-
ния теплопроводности с источником
=
1
+ (
−
)
,
(
,
) =
−
(
,
−
t
)
.
(18)
Доказательство теоремы проводится подстановкой решения (17)
в систему (1)–(2) с учетом того, что (5) является решением данной
системы, а функция удовлетворяет (18).
Для построения точных решений системы (1)–(2) при
<
0
ис-
пользуем формулу (17) и уравнение (18).
В общем случае для произвольных кинетических функций
(
z
, ,
¯)
и
(
z
, ,
¯)
в качестве частного решения (5) системы (1)–(2), как
и ранее, можно взять пространственно-однородное решение (11а), ста-
ционарное решение (11б), или решение типа бегущей волны (11в).
В частности, решение типа бегущей волны (11в) описывается систе-
мой обыкновенных дифференциально-разностных уравнений (12).
6
